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Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Mots-clés. Diffusion ; mouvement brownien ; processus gaussien ; processus d’Ornstein-Uhlenbeck ; équation différentielle stochastique ; équation aux
dérivées partielles.
Outils. Vecteurs gaussiens ; semi-groupe de Markov ; formule d’Itô ; analyse hilbertienne ; transformée de Laplace ; polynômes d’Hermite ; couplage ;
entropie relative ; inégalité de Poincaré ; inégalité de Sobolev logarithmique ;
distance de Wasserstein.
Difficulté. ***
Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck (X t ) t0 sur R est la solution de l’équation différentielle stochastique (ÉDS) linéaire suivante :
X t = X 0 −
t
0
X s ds +
√
2B t ,
où (B t ) t0 est un mouvement brownien standard sur R indépendant de X 0 .
Le facteur
√
2 dans l’ÉDS rend certaines formules plus belles. On utilise aussi
la version abrégée suivante de l’ÉDS :
dX t = −X t dt +
√
2 dB t .
Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck est le plus simple des processus de diffusion gaussiens ergodiques sur R. Il possède des propriétés remarquables, qui le
rendent incontournable. Il apparaît notamment comme limite d’échelle de plusieurs chaînes de Markov à espace d’états discret, comme la chaîne d’Ehrenfest
(chapitres 9 et 27), ou la file d’attente M/M/∞ (chapitre 11). Il intervient
également dans la définition du processus de Langevin du chapitre 26.
325
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_25
Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Mots-clés. Diffusion ; mouvement brownien ; processus gaussien ; processus d’Ornstein-Uhlenbeck ; équation différentielle stochastique ; équation aux
dérivées partielles.
Outils. Vecteurs gaussiens ; semi-groupe de Markov ; formule d’Itô ; analyse hilbertienne ; transformée de Laplace ; polynômes d’Hermite ; couplage ;
entropie relative ; inégalité de Poincaré ; inégalité de Sobolev logarithmique ;
distance de Wasserstein.
Difficulté. ***
Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck (X t ) t0 sur R est la solution de l’équation différentielle stochastique (ÉDS) linéaire suivante :
X t = X 0 −
t
0
X s ds +
√
2B t ,
où (B t ) t0 est un mouvement brownien standard sur R indépendant de X 0 .
Le facteur
√
2 dans l’ÉDS rend certaines formules plus belles. On utilise aussi
la version abrégée suivante de l’ÉDS :
dX t = −X t dt +
√
2 dB t .
Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck est le plus simple des processus de diffusion gaussiens ergodiques sur R. Il possède des propriétés remarquables, qui le
rendent incontournable. Il apparaît notamment comme limite d’échelle de plusieurs chaînes de Markov à espace d’états discret, comme la chaîne d’Ehrenfest
(chapitres 9 et 27), ou la file d’attente M/M/∞ (chapitre 11). Il intervient
également dans la définition du processus de Langevin du chapitre 26.
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_25