2.1 Marche aléatoire simple sur la droite
21
On peut alternativement traiter le cas p = 1/2 avec un peu plus d’intuition
probabiliste. En effet, la loi forte des grands nombres affirme qu’on a presque
sûrement X n = X 0 + n(2p − 1 + o n→∞ (1)), donc X n → +∞ p.s. si p > 1/2
et X n → −∞ p.s. si p < 1/2, ce qui interdit toute récurrence.
Le théorème suivant permet d’étudier le problème de la ruine d’un joueur
qui gagne 1 Euro avec probabilité p et perd 1 Euro avec probabilité 1 − p.
La fortune initiale est x et le joueur quitte le jeu lorsqu’il possède a < x
Euros (ruine) ou b > x Euros (gain). On adopte la notation conditionnelle
traditionnelle P x (·) := P(· | X 0 = x) et E x (·) = E(· | X 0 = x).
Théorème 2.2 (Sortie de boîte
1 ou ruine du joueur). Soient a < b dans Z,
et les temps d’arrêt τ a , τ b , et τ définis par
τ a = inf{n 0 : X n = a}, τ b = inf{n 0 : X n = b}, et τ = min(τ a , τ b ).
Alors pour tout x ∈ [a, b] ∩ Z, il existe c > 0 tel que E x (e
cτ ) < ∞. En
particulier E x (τ ) < ∞ et donc P x (τ < ∞) = 1. De plus, en posant ρ =
1 − p
p
,
P x (X τ = a) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ρ
b
− ρ
x
ρ b − ρ a si p =
1
2 ,
b − x
b − a
si p =
1
2 ,
et
E x (τ ) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x − a
1 − 2p
−
(b − a)
1 − 2p
ρ
x
− ρ
a
ρ b − ρ a si p =
1
2 ,
(b − x)(x − a)
si p =
1
2 .
Si p = 1/2 alors la chaîne est récurrente et visite presque sûrement chaque
état une infinité de fois et donc P x (τ a < ∞) = 1 et P x (τ b < ∞) = 1 pour
tout a x b. En revanche, si p = 1/2 alors la chaîne est transitoire et
les temps d’atteinte de a ou de b ne sont plus finis presque sûrement (selon
la probabilité p et le point de départ x). On le voit bien dans les formules
du théorème 2.2 en faisant tendre a ou b vers l’infini. Le temps de sortie τ
de [a, b] est identique en loi au temps d’absorption T par {a, b} de la chaîne
Y = (Y n ) n0 d’espace d’états fini {a, . . . , b} de mêmes transitions que (X n ) n0
mais avec absorption en a et b. Comme pour Y , les états a et b sont récurrents
et tous les autres (en nombre fini) transitoires, et comme presque sûrement
la chaîne Y ne visite qu’un nombre fini de fois chaque état transitoire, on en
déduit que P x (τ < ∞) = P x (T < ∞) = 1 pour tout a x b.
Démonstration. Montrons que E x (τ ) < ∞ pour tout a x b. Il suffit
d’obtenir une majoration géométrique pour la queue de la loi de τ . Il serait
1. Quoi de plus naturel pour un ivrogne modélisé par la marche aléatoire.
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On peut alternativement traiter le cas p = 1/2 avec un peu plus d’intuition
probabiliste. En effet, la loi forte des grands nombres affirme qu’on a presque
sûrement X n = X 0 + n(2p − 1 + o n→∞ (1)), donc X n → +∞ p.s. si p > 1/2
et X n → −∞ p.s. si p < 1/2, ce qui interdit toute récurrence.
Le théorème suivant permet d’étudier le problème de la ruine d’un joueur
qui gagne 1 Euro avec probabilité p et perd 1 Euro avec probabilité 1 − p.
La fortune initiale est x et le joueur quitte le jeu lorsqu’il possède a < x
Euros (ruine) ou b > x Euros (gain). On adopte la notation conditionnelle
traditionnelle P x (·) := P(· | X 0 = x) et E x (·) = E(· | X 0 = x).
Théorème 2.2 (Sortie de boîte
1 ou ruine du joueur). Soient a < b dans Z,
et les temps d’arrêt τ a , τ b , et τ définis par
τ a = inf{n 0 : X n = a}, τ b = inf{n 0 : X n = b}, et τ = min(τ a , τ b ).
Alors pour tout x ∈ [a, b] ∩ Z, il existe c > 0 tel que E x (e
cτ ) < ∞. En
particulier E x (τ ) < ∞ et donc P x (τ < ∞) = 1. De plus, en posant ρ =
1 − p
p
,
P x (X τ = a) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ρ
b
− ρ
x
ρ b − ρ a si p =
1
2 ,
b − x
b − a
si p =
1
2 ,
et
E x (τ ) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x − a
1 − 2p
−
(b − a)
1 − 2p
ρ
x
− ρ
a
ρ b − ρ a si p =
1
2 ,
(b − x)(x − a)
si p =
1
2 .
Si p = 1/2 alors la chaîne est récurrente et visite presque sûrement chaque
état une infinité de fois et donc P x (τ a < ∞) = 1 et P x (τ b < ∞) = 1 pour
tout a x b. En revanche, si p = 1/2 alors la chaîne est transitoire et
les temps d’atteinte de a ou de b ne sont plus finis presque sûrement (selon
la probabilité p et le point de départ x). On le voit bien dans les formules
du théorème 2.2 en faisant tendre a ou b vers l’infini. Le temps de sortie τ
de [a, b] est identique en loi au temps d’absorption T par {a, b} de la chaîne
Y = (Y n ) n0 d’espace d’états fini {a, . . . , b} de mêmes transitions que (X n ) n0
mais avec absorption en a et b. Comme pour Y , les états a et b sont récurrents
et tous les autres (en nombre fini) transitoires, et comme presque sûrement
la chaîne Y ne visite qu’un nombre fini de fois chaque état transitoire, on en
déduit que P x (τ < ∞) = P x (T < ∞) = 1 pour tout a x b.
Démonstration. Montrons que E x (τ ) < ∞ pour tout a x b. Il suffit
d’obtenir une majoration géométrique pour la queue de la loi de τ . Il serait
1. Quoi de plus naturel pour un ivrogne modélisé par la marche aléatoire.