20
2 Marches aléatoires
0
200
400
600
800
1000
-60
-40
-20
0
20
40
60
Temps n
Position Xn
Trajectoires de la marche simple
Fig. 2.1. Trajectoires issues de 0 de la marche aléatoire simple sur Z.
X n − X 0 + n
2
∼ Bin(n, p).
Théorème 2.1 (Récurrence). La marche aléatoire simple sur Z est récurrente
nulle si p = 1/2 (marche aléatoire simple symétrique) et transitoire si p = 1/2
(marche aléatoire simple asymétrique).
Démonstration. Rappelons qu’un état x est récurent lorsque la marche issue
de x y revient p.s. ou de manière équivalente lorsque cette chaîne visite une
infinité de fois x. Un critère utile est le suivant : l’état x est récurrent si et seulement si
n P
n (x, x) = ∞. La chaîne est de période 2 et donc P
2n+1 (x, x) = 0
pour tout n 0. Comme la chaîne est irréductible, tous les états ont même
nature, et on peut donc se ramener à l’état 0. La formule binomiale donne
P
2n (0, 0) = P(X 2n = 0 | X 0 = 0) =
2n
n
p
n (1 − p)
n .
La formule de Stirling n! ∼
√
2πn(n/e)
n donne, en notant ρ = 4p(1 − p),
P
2n (0, 0) ∼
ρ
n
√ πn
.
À présent, si p = 1/2 alors ρ = 1 et la chaîne est récurrente tandis que si
p = 1/2 alors ρ < 1 et la chaîne est transitoire. Lorsque p = 1/2 la mesure de
comptage est symétrique (car la matrice P est symétrique) donc invariante,
et comme il ne s’agit pas d’une mesure finie, la chaîne est récurrente nulle.