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Marches aléatoires
Mots-clés. Marche aléatoire ; temps de sortie ; ruine du joueur ; problème
de Dirichlet ; fonction harmonique ; champ libre gaussien.
Outils. Combinatoire ; chaîne de Markov ; martingale ; loi multinomiale ;
transformée de Fourier ; groupe symétrique ; collectionneur de coupons.
Difficulté. *
Les marches aléatoires constituent des objets probabilistes incontournables, d’une richesse et d’une diversité surprenante. Ce chapitre en présente
quelques aspects simples, en liaison notamment avec le caractère markovien.
2.1 Marche aléatoire simple sur la droite
La marche aléatoire simple sur la droite Z est la suite (X n ) n0 de variables
aléatoires définie par la relation récursive (ou autorégressive)
X n+1 = X n + ε n+1 = X 0 + ε 1 + · · · + ε n+1
pour tout n 0, où (ε n ) n1 est une suite de v.a.r. i.i.d. de loi de Rademacher,
indépendante de X 0 . On pose
p := P(ε n = 1) = 1 − P(ε n = −1) ∈ ]0, 1[.
La suite (X n ) n0 est une chaîne de Markov d’espace d’états Z et de noyau de
transition donné pour tous x, y ∈ Z par
P(x, y) = p1 {y=x+1} + (1 − p)1 {y=x−1}
et la matrice P est tridiagonale. Une variable aléatoire B suit la loi de Bernoulli (1 − p)δ 0 + pδ 1 si et seulement si la variable aléatoire 2B − 1 suit la loi
de Rademacher (1 − p)δ −1 + pδ 1 . Ainsi, pour tout n 0,
19
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_2
Marches aléatoires
Mots-clés. Marche aléatoire ; temps de sortie ; ruine du joueur ; problème
de Dirichlet ; fonction harmonique ; champ libre gaussien.
Outils. Combinatoire ; chaîne de Markov ; martingale ; loi multinomiale ;
transformée de Fourier ; groupe symétrique ; collectionneur de coupons.
Difficulté. *
Les marches aléatoires constituent des objets probabilistes incontournables, d’une richesse et d’une diversité surprenante. Ce chapitre en présente
quelques aspects simples, en liaison notamment avec le caractère markovien.
2.1 Marche aléatoire simple sur la droite
La marche aléatoire simple sur la droite Z est la suite (X n ) n0 de variables
aléatoires définie par la relation récursive (ou autorégressive)
X n+1 = X n + ε n+1 = X 0 + ε 1 + · · · + ε n+1
pour tout n 0, où (ε n ) n1 est une suite de v.a.r. i.i.d. de loi de Rademacher,
indépendante de X 0 . On pose
p := P(ε n = 1) = 1 − P(ε n = −1) ∈ ]0, 1[.
La suite (X n ) n0 est une chaîne de Markov d’espace d’états Z et de noyau de
transition donné pour tous x, y ∈ Z par
P(x, y) = p1 {y=x+1} + (1 − p)1 {y=x−1}
et la matrice P est tridiagonale. Une variable aléatoire B suit la loi de Bernoulli (1 − p)δ 0 + pδ 1 si et seulement si la variable aléatoire 2B − 1 suit la loi
de Rademacher (1 − p)δ −1 + pδ 1 . Ainsi, pour tout n 0,
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_2