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2 Marches aléatoires
possible de procéder par couplage, comme pour le modèle de Wright-Fisher,
voir remarque 12.7. Pour tout a x b, il existe un chemin x de longueur
| x | (b − a) qui mène de x à a ou b. On a
P x (τ > (b − a)) P(X 1:|x| = x )
= 1 − P(X 1:|x| = x )
1 − min(p, 1 − p)
|x| .
Si η = max a |x| ) < 1 alors on obtient, par récurrence,
pour tout k 1, en utilisant l’indépendance conditionnelle du passé et du
futur sachant le présent,
P x (τ > k(b − a))
=
a P x (τ > k(b − a), X (k−1)(b−a) = y, τ > (k − 1)(b − a))
=
a P y (τ > (b − a))P x (X (k−1)(b−a) = y, τ > (k − 1)(b − a))
ηP x (τ > (k − 1)(b − a)) ηη
k−1 = η
k .
Comme η < 1 on obtient que E x (e
cτ ) < ∞ pour un réel c > 0, et en particulier
tous les moments de τ sont finis sous P x et P x (τ < ∞) = 1. Calculons
r(x) := P x (X τ = a).
On a pour tout a < x < b
r(x) = P x (X τ = a | X 1 = x + 1)p + P x (X τ = a | X 1 = x − 1)(1 − p)
= pr(x + 1) + (1 − p)r(x − 1).
L’ensemble des solutions de cette récurrence linéaire d’ordre deux est un espace vectoriel qui contient la solution constante 1. Si p = 1/2 alors ρ
x est
aussi solution, linéairement indépendante de 1, et donc les solutions sont de
la forme A + Bρ
x avec A et B constantes. Les conditions aux bords r(a) = 1,
r(b) = 0 fixent A et B, ce qui donne l’unique solution
r(x) =
ρ
b
− ρ
x
ρ b − ρ a .
Si p = 1/2 alors ρ = 1 et les deux solutions fondamentales précédentes sont
confondues. Cependant, on observe que dans ce cas, x est également solution,
linéairement indépendante de 1, et donc les solutions sont de la forme A + Bx
où A et B sont des constantes. Les conditions aux bords r(a) = 1 et r(b) = 0
fixent A et B, ce qui donne l’unique solution
r(x) =
b − x
b − a
.