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24 Problème de Dirichlet
Théorème 24.12 (Récurrence ou transience du mouvement brownien). Soit
(B t ) t0 un mouvement brownien sur R
d .
1. Si d = 2 et r < |x| < R, alors
a) P x (T B(0,r) < τ B(0,R) ) =
log(R) − log(|x|)
log(R) − log(r)
,
b) P x (T {0} < ∞) = 0,
c) P x (T B(0,r) < ∞) = 1,
d) P x (T B(0,r) < ∞ i.s.) = 1.
2. Si d 3 et r < |x| < R, alors
a) P x (T B(0,r) < τ B(0,R) ) =
|x|
2−d − R
2−d
r 2−d − R 2−d ,
b) P x (T {0} < ∞) = 0,
c) P x (T B(0,r) < ∞) =
|x|
2−d
r 2−d .
Le théorème 24.12 établit la récurrence du mouvement brownien dans R
2 :
s’il n’atteint aucun point donné, il atteint presque sûrement tout voisinage de
ce point une infinité de fois ! Ceci n’est plus vrai en dimensions supérieures. Le
comportement est semblable à celui de la marche aléatoire simple symétrique
sur Z
d , étudié dans le chapitre 2.
Démonstration. Soit ϕ la fonction x → log(|x|), respectivement x → |x|
2−d ,
pour d = 2, respectivement d 3. Dans les deux cas, ϕ est une fonction
harmonique radiale sur R
d privé de l’origine. Le processus (ϕ(B t∧S )) t0 est
une martingale bornée. De plus, S est fini p.s. puisque la première coordonnée
de (B t ) prend des valeurs arbitrairement grandes. Le théorème d’arrêt assure
donc que
ϕ(x) = E x (ϕ(B S )) = ϕ(r)P x
T B(0,r) < τ B(0,R)
+ ϕ(R)P x
T B(0,r) > τ B(0,R)
que l’on écrit encore
P x
T B(0,r) < τ B(0,R)
=
ϕ(x) − ϕ(R)
ϕ(r) − ϕ(R)
.
Pour obtenir 1.(b) et 2.(b) on prend les limites successives r → 0 puis R → ∞.
Le point 1.(d) se déduit de 1.(c) et de la propriété de Markov forte.
24.6 Pour aller plus loin
Le problème de Dirichlet continu a été étudié au dix-neuvième siècle et
doit son nom au mathématicien Peter Gustav Lejeune Dirichlet. La solution