24.5 Récurrence, transience, et fonctions harmoniques
321
puisque la fonction caractéristique de X
N
n vaut cos(t/N )
n . Enfin,
ϕ U N (t) =
1 − |sin(t/N )|
cos(t/N )
N
∼
N →∞
1 −
|t|
N
N
− −−− →
N →∞
e
−|t| ,
et la limite est la fonction caractéristique de la loi de Cauchy standard.
Remarque 24.11 (Noyau de Poisson du demi-plan). Le problème de Dirichlet
sur R × R
∗
+ admet la représentation suivante : pour tout (x, y) ∈ R × R
∗
+ ,
u(x, y) =
R
b(z)P H (x, y, z) dz, avec P ((x, y), z) =
1
π
y
y 2 + (x − z) 2 .
24.5 Récurrence, transience, et fonctions harmoniques
La connaissance des fonctions harmoniques radiales sur R
d permet d’obtenir des propriétés de récurrence et transience pour le mouvement brownien.
Pour r < |x| < R, notons
T B(0,r) := inf {t 0 : B t ∈ B(0, r)}
et
τ B(0,R) := inf {t 0 : B t /
∈ B(0, R)}.
Le temps S := T B(0,r) ∧τ B(0,R) est le temps de sortie de la couronne C(0, r, R).
×
x
Bτ×
Fig. 24.2. Une trajectoire brownienne issue de x arrêtée hors d’une couronne.