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24 Problème de Dirichlet
P((X
N
n+1 − X
N
n ) = −1/N ) = P((X
N
n+1 − X
N
n ) = 1/N ) = 1/2,
P((Y
N
n+1 − Y
N
n ) = −1/N ) = P((Y
N
n+1 − X
Y
n ) = 1/N ) = 1/2.
À chaque pas, la marche choisit au hasard entre les 4 points à distance
√
2/N (nord-ouest, nord-est, sud-ouest et sud-est). Cette modification légère
de dynamique de la marche aléatoire permet d’assurer que (X
N
n ) n et (Y
N
n ) n
sont deux marches aléatoires simples indépendantes, ce qui simplifiera le raisonnement par la suite.
On s’intéresse à l’instant et à l’abscisse de sortie du demi-plan supérieur
pour la marche aléatoire ainsi définie. L’instant de sortie est la v.a.r.
T
N := inf
k 0 : Y
N
k = 0
.
L’abscisse de sortie U
N est l’abscisse de la marche aléatoire à l’instant T
N ,
U
N := X
N
T N .
Théorème 24.10 (Convergence en loi du lieu de sortie). La suite (U
N ) N 1
converge en loi, quand N tend vers l’infini, vers la loi de Cauchy de densité :
x ∈ R →
1
π
1
1 + x 2 .
Démonstration. Notons S k le temps d’atteinte de 0 pour la marche aléatoire
simple (Z n ) n0 sur Z issue de k, et G k sa fonction génératrice. La propriété
de Markov forte assure que
S k
loi
= S
1
1 + · · · + S
k
1
où (S
i
1 ) 1ik sont i.i.d. de même loi que S 1 , d’où G k (s) = G 1 (s)
k . De même,
S 1
loi
= 1 + ZS 2
où Z est une v.a. de loi de Bernoulli Ber(1/2) indépendante de S 2 , d’où
G 1 (s) =
s
2
+
s
2
G 2 (s), s ∈ [0, 1[.
Pour tout s ∈ [0, 1[, G 1 (s) est solution de sx
2
− 2x + s = 0 et vaut donc
G 1 (s) =
1 −
√
1 − s 2
s
puisque G 1 (s) < 1. En conclusion, T
N a même loi que S N , et sa fonction
génératrice G N est donnée par G N (s) = G 1 (s)
N .
Déterminons à présent la fonction caractéristique de U
N . Pour tout t ∈ R,
ϕ U N (t) = E
e
itU
N
=
1 −
1 − cos(t/N ) 2
cos(t/N )
N
,
24 Problème de Dirichlet
P((X
N
n+1 − X
N
n ) = −1/N ) = P((X
N
n+1 − X
N
n ) = 1/N ) = 1/2,
P((Y
N
n+1 − Y
N
n ) = −1/N ) = P((Y
N
n+1 − X
Y
n ) = 1/N ) = 1/2.
À chaque pas, la marche choisit au hasard entre les 4 points à distance
√
2/N (nord-ouest, nord-est, sud-ouest et sud-est). Cette modification légère
de dynamique de la marche aléatoire permet d’assurer que (X
N
n ) n et (Y
N
n ) n
sont deux marches aléatoires simples indépendantes, ce qui simplifiera le raisonnement par la suite.
On s’intéresse à l’instant et à l’abscisse de sortie du demi-plan supérieur
pour la marche aléatoire ainsi définie. L’instant de sortie est la v.a.r.
T
N := inf
k 0 : Y
N
k = 0
.
L’abscisse de sortie U
N est l’abscisse de la marche aléatoire à l’instant T
N ,
U
N := X
N
T N .
Théorème 24.10 (Convergence en loi du lieu de sortie). La suite (U
N ) N 1
converge en loi, quand N tend vers l’infini, vers la loi de Cauchy de densité :
x ∈ R →
1
π
1
1 + x 2 .
Démonstration. Notons S k le temps d’atteinte de 0 pour la marche aléatoire
simple (Z n ) n0 sur Z issue de k, et G k sa fonction génératrice. La propriété
de Markov forte assure que
S k
loi
= S
1
1 + · · · + S
k
1
où (S
i
1 ) 1ik sont i.i.d. de même loi que S 1 , d’où G k (s) = G 1 (s)
k . De même,
S 1
loi
= 1 + ZS 2
où Z est une v.a. de loi de Bernoulli Ber(1/2) indépendante de S 2 , d’où
G 1 (s) =
s
2
+
s
2
G 2 (s), s ∈ [0, 1[.
Pour tout s ∈ [0, 1[, G 1 (s) est solution de sx
2
− 2x + s = 0 et vaut donc
G 1 (s) =
1 −
√
1 − s 2
s
puisque G 1 (s) < 1. En conclusion, T
N a même loi que S N , et sa fonction
génératrice G N est donnée par G N (s) = G 1 (s)
N .
Déterminons à présent la fonction caractéristique de U
N . Pour tout t ∈ R,
ϕ U N (t) = E
e
itU
N
=
1 −
1 − cos(t/N ) 2
cos(t/N )
N
,