24.4 Demi-plan supérieur : du discret au continu
319
Δ h f (x) =
1
2d
y∼x
(f (y) − f (x)).
On dit que ϕ h est h-harmonique sur D h si Δ h ϕ h = 0 sur D h . Il convient
également de définir une fonction b h sur ∂ h D h qui soit une approximation
raisonnable de b définie sur ∂D. Le problème de Dirichlet discret est alors le
suivant : trouver ϕ h sur D h ∪ ∂ h D h telle que
Δ h ϕ h (x) = 0 pour tout x ∈ D h ,
ϕ h (x) = b h (x) pour tout x ∈ ∂ h D h .
C’est exactement le problème de Dirichlet discret étudié dans le chapitre 2, qui
possède une solution probabiliste dans le même esprit que celle du problème
de Dirichlet continu, avec la marche aléatoire simple en lieu et place du mouvement brownien. Cette substitution est justifiée par la remarque suivante. Si
f est une fonction de classe C
2 de R
d dans R, alors
Δ h f (x) =
h
2
2d
Δf (x) + o(h
2 ).
Ainsi, quand h est petit, Δ h apparaît comme une approximation du laplacien.
D’autre part, dire que Δ h ϕ h (x) = 0 revient à dire que ϕ h (x) est la moyenne
(avec la mesure uniforme) des valeurs de ϕ h en les 2d voisins de x, ce qui est
un analogue de la propriété de la moyenne.
Remarque 24.9 (Approches déterministe et probabiliste). Comme D h est
fini, le problème de Dirichlet discret est un système linéaire de card(D h ) équations à card(D h ) inconnues, qui possède une unique solution. Sa résolution est
simplifiée par le fait que la matrice associée au système est creuse : au plus
2d + 1 inconnues sont impliquées dans chaque équation. Cette méthode directe
permet, au terme des calculs, de déterminer simultanément la valeur de la
solution ϕ h en tout point de la grille D h . Cette méthode est payante lorsque
l’on veut déterminer la température du corps en tous les points du solide.
24.4 Demi-plan supérieur : du discret au continu
Le but de cette section est d’illustrer dans un cas particulier la convergence
de la solution du problème de Dirichlet discret vers la solution du problème
de Dirichlet continu formulé dans le corollaire 24.2. Même s’il n’est pas borné,
le demi-plan supérieur dans R
2 possède un noyau de Poisson explicite. Il
est également possible de déterminer la loi du lieu de sortie de la marche
aléatoire sur le réseau de hZ
2 . Soit N ∈ N
∗ . Le pas de discrétisation est
choisi de la forme h = 1/N . On note (X
N
n , Y
N
n ) n la marche aléatoire sur
hZ
2 issue de (X
N
0 , Y
N
0 ) = (0, 1) telle que les suites de variables aléatoires
(X
N
n+1 − X
N
n ) et (Y
N
n+1 − Y
N
n ) soient indépendantes entre elles, formées de
variables indépendantes de même loi :
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Δ h f (x) =
1
2d
y∼x
(f (y) − f (x)).
On dit que ϕ h est h-harmonique sur D h si Δ h ϕ h = 0 sur D h . Il convient
également de définir une fonction b h sur ∂ h D h qui soit une approximation
raisonnable de b définie sur ∂D. Le problème de Dirichlet discret est alors le
suivant : trouver ϕ h sur D h ∪ ∂ h D h telle que
Δ h ϕ h (x) = 0 pour tout x ∈ D h ,
ϕ h (x) = b h (x) pour tout x ∈ ∂ h D h .
C’est exactement le problème de Dirichlet discret étudié dans le chapitre 2, qui
possède une solution probabiliste dans le même esprit que celle du problème
de Dirichlet continu, avec la marche aléatoire simple en lieu et place du mouvement brownien. Cette substitution est justifiée par la remarque suivante. Si
f est une fonction de classe C
2 de R
d dans R, alors
Δ h f (x) =
h
2
2d
Δf (x) + o(h
2 ).
Ainsi, quand h est petit, Δ h apparaît comme une approximation du laplacien.
D’autre part, dire que Δ h ϕ h (x) = 0 revient à dire que ϕ h (x) est la moyenne
(avec la mesure uniforme) des valeurs de ϕ h en les 2d voisins de x, ce qui est
un analogue de la propriété de la moyenne.
Remarque 24.9 (Approches déterministe et probabiliste). Comme D h est
fini, le problème de Dirichlet discret est un système linéaire de card(D h ) équations à card(D h ) inconnues, qui possède une unique solution. Sa résolution est
simplifiée par le fait que la matrice associée au système est creuse : au plus
2d + 1 inconnues sont impliquées dans chaque équation. Cette méthode directe
permet, au terme des calculs, de déterminer simultanément la valeur de la
solution ϕ h en tout point de la grille D h . Cette méthode est payante lorsque
l’on veut déterminer la température du corps en tous les points du solide.
24.4 Demi-plan supérieur : du discret au continu
Le but de cette section est d’illustrer dans un cas particulier la convergence
de la solution du problème de Dirichlet discret vers la solution du problème
de Dirichlet continu formulé dans le corollaire 24.2. Même s’il n’est pas borné,
le demi-plan supérieur dans R
2 possède un noyau de Poisson explicite. Il
est également possible de déterminer la loi du lieu de sortie de la marche
aléatoire sur le réseau de hZ
2 . Soit N ∈ N
∗ . Le pas de discrétisation est
choisi de la forme h = 1/N . On note (X
N
n , Y
N
n ) n la marche aléatoire sur
hZ
2 issue de (X
N
0 , Y
N
0 ) = (0, 1) telle que les suites de variables aléatoires
(X
N
n+1 − X
N
n ) et (Y
N
n+1 − Y
N
n ) soient indépendantes entre elles, formées de
variables indépendantes de même loi :