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24 Problème de Dirichlet
Ici encore ϕ(x) s’écrit comme la moyenne de b sur ∂D contre la densité
P r (x, y) par rapport à la mesure uniforme sur S(0, r). Cette mesure donne
plus de poids aux points de la sphère qui sont proches de x, ce qui correspond
bien à l’intuition en termes de température du solide.
Le problème de Dirichlet sur une boule de R
d se ramène ainsi au calcul
d’une intégrale sur la sphère de dimension d − 1. Lorsque d 1, les méthodes
de calcul approché déterministes deviennent très difficiles à mettre en place
car elles demandent de discrétiser la sphère. La méthode de Monte-Carlo reste
elle très simple à utiliser grâce au résultat suivant.
Théorème 24.7 (Simulation de la loi uniforme sur la sphère). Si X est un
vecteur aléatoire dans R
d de loi N d (0, I d ), le vecteur aléatoire Y = X/|X| suit
la loi uniforme sur S(0, 1).
Démonstration. La v.a. Y est définie p.s. puisque l’ensemble {X = 0} est de
mesure nulle. De plus, la loi de X est invariante par toute rotation : si O est
une matrice orthogonale alors OX a même loi que X. Il en est donc de même
pour Y . Or la seule loi de probabilité sur la sphère unité munie de sa tribu
borélienne qui soit invariante par rotation est la loi uniforme.
Remarque 24.8 (Algorithme de Box-Muller). Si U et V sont deux v.a.r.
indépendantes avec U de loi uniforme sur [0, 1] et V de loi exponentielle de
paramètre 1/2 alors les v.a.r.
X =
√
V cos(2πU ) et Y =
√
V sin(2πU )
sont indépendantes et de même loi gaussienne centrée réduite N (0, 1). Cette
propriété a longtemps été utilisée par les logiciels de calcul scientifique avant
d’être délaissée pour des procédures plus efficaces comme l’algorithme du Ziggurat de Marsaglia basé sur une méthode de polygonalisation.
24.3 Approches numériques
Dans le cas d’un domaine général D, on ne dispose pas d’une expression
explicite du noyau de Poisson. Il faut donc envisager des méthodes de résolutions approchées. Pour cela, on discrétise D. Soit h > 0 le pas de discrétisation.
On définit la grille D h comme l’intersection de D et du réseau hZ
d :
D h := D ∩ hZ
d =
x ∈ D, ∃(i 1 , . . . , i d ) ∈ Z
d , x = (hi 1 , . . . , hi d )
.
On dit que x, y ∈ hZ
d sont voisins, et on note x ∼ y, si |x − y| = h. La
frontière de D h s’écrit
∂ h D h = {y ∈ D
c
h : ∃x ∈ D h , x ∼ y}.
L’opérateur laplacien est lui remplacé par l’opérateur aux différences :
24 Problème de Dirichlet
Ici encore ϕ(x) s’écrit comme la moyenne de b sur ∂D contre la densité
P r (x, y) par rapport à la mesure uniforme sur S(0, r). Cette mesure donne
plus de poids aux points de la sphère qui sont proches de x, ce qui correspond
bien à l’intuition en termes de température du solide.
Le problème de Dirichlet sur une boule de R
d se ramène ainsi au calcul
d’une intégrale sur la sphère de dimension d − 1. Lorsque d 1, les méthodes
de calcul approché déterministes deviennent très difficiles à mettre en place
car elles demandent de discrétiser la sphère. La méthode de Monte-Carlo reste
elle très simple à utiliser grâce au résultat suivant.
Théorème 24.7 (Simulation de la loi uniforme sur la sphère). Si X est un
vecteur aléatoire dans R
d de loi N d (0, I d ), le vecteur aléatoire Y = X/|X| suit
la loi uniforme sur S(0, 1).
Démonstration. La v.a. Y est définie p.s. puisque l’ensemble {X = 0} est de
mesure nulle. De plus, la loi de X est invariante par toute rotation : si O est
une matrice orthogonale alors OX a même loi que X. Il en est donc de même
pour Y . Or la seule loi de probabilité sur la sphère unité munie de sa tribu
borélienne qui soit invariante par rotation est la loi uniforme.
Remarque 24.8 (Algorithme de Box-Muller). Si U et V sont deux v.a.r.
indépendantes avec U de loi uniforme sur [0, 1] et V de loi exponentielle de
paramètre 1/2 alors les v.a.r.
X =
√
V cos(2πU ) et Y =
√
V sin(2πU )
sont indépendantes et de même loi gaussienne centrée réduite N (0, 1). Cette
propriété a longtemps été utilisée par les logiciels de calcul scientifique avant
d’être délaissée pour des procédures plus efficaces comme l’algorithme du Ziggurat de Marsaglia basé sur une méthode de polygonalisation.
24.3 Approches numériques
Dans le cas d’un domaine général D, on ne dispose pas d’une expression
explicite du noyau de Poisson. Il faut donc envisager des méthodes de résolutions approchées. Pour cela, on discrétise D. Soit h > 0 le pas de discrétisation.
On définit la grille D h comme l’intersection de D et du réseau hZ
d :
D h := D ∩ hZ
d =
x ∈ D, ∃(i 1 , . . . , i d ) ∈ Z
d , x = (hi 1 , . . . , hi d )
.
On dit que x, y ∈ hZ
d sont voisins, et on note x ∼ y, si |x − y| = h. La
frontière de D h s’écrit
∂ h D h = {y ∈ D
c
h : ∃x ∈ D h , x ∼ y}.
L’opérateur laplacien est lui remplacé par l’opérateur aux différences :