24.2 Cas de la boule unité
317
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
−1.0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Fig. 24.1. Découpage d’une trajectoire sortant de D après être sortie de B(x, r).
Théorème 24.5 (Unicité). Si ϕ est une solution du problème de Dirichlet
sur D de condition aux bords b, alors cette solution est unique et s’écrit
∀x ∈ D, ϕ(x) = E x [b(B τ )].
Démonstration. La formule d’Itô fournit la décomposition suivante :
ϕ(B t∧τ ) = ϕ(x) +
t∧τ
0
1
2
Δϕ(B s ) ds + M t∧τ
où (M t∧τ ) t0 est une martingale bornée d’après les propriétés de régularités
automatiques des fonctions harmoniques (théorème 24.1). En effet, ϕ est harmonique sur D et bornée sur D. Il en est alors de même pour ses dérivées. En
prenant l’espérance et en faisant t → ∞, on obtient le résultat annoncé.
24.2 Cas de la boule unité
Il existe très peu de domaines D pour lesquels une expression explicite de
la solution du problème de Dirichlet est disponible. Cette section est consacrée
au cas des boules euclidiennes.
Théorème 24.6 (Noyau de Poisson des boules). Le problème de Dirichlet sur
la boule centrée de rayon r dans R
d de condition aux bords b a pour solution
ϕ(x) =
S(0,r)
b(y)P r (x, y) σ r (dy), où P r (x, y) =
r
d−2 (r
2
− |x|
2 )
|y − x|
d
.