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24 Problème de Dirichlet
τ := inf {t > 0 : B t /
∈ D}
le temps de sortie de D pour (B t ) t0 . On notera P x la loi de (B t ) t0 sachant
que B 0 = x et E x l’espérance par rapport à cette loi. Le mouvement brownien
est un processus de Markov fort et la formule d’Itô assure que si f est une
fonction de classe C
2 de R
d dans R à dérivées bornées, alors
f (B t ) = f (B 0 ) +
t
0
1
2
Δf (B s ) ds +
t
0
∇f (B s ) dB s .
L’intégrale stochastique (dernier terme) ci-dessus est une martingale. La clé
du lien entre probabilités et analyse est contenue dans la remarque suivante :
(f (B t )) t0 est une martingale si f est une fonction harmonique.
Théorème 24.3 (Harmonicité de la représentation probabiliste). La fonction
v définie sur D par v(x) = E x [b(B τ )] est harmonique sur D.
Il est délicat d’établir la continuité sur D de la fonction v donnée par le
théorème 24.3. Cela fait intervenir les propriétés géométriques du domaine D.
Démonstration. Soit x ∈ D et r < dist(x, ∂D). Notons
τ r := inf {t 0 : B t /
∈ B(x, r)}
le temps de sortie de la boule centrée en x de rayon r pour le mouvement
brownien issu de x. Voir la figure 24.1. La propriété de Markov forte de (B t ) t0
assure alors que
v(x) = E x [E x (b(B τ )|F τr )] = E x
E Xτ r (b(B τ ))
= E x (v(B τr )).
Enfin, comme la loi du mouvement brownien est invariante par rotation, la
v.a. B τr est distribuée selon la loi uniforme sur S(x, r). Cette propriété assure
que la fonction v vérifie la formule de la moyenne sur les sphères.
Remarque 24.4 (Noyau de Poisson). La représentation probabiliste ci-dessus
montre que la solution du problème de Dirichlet en un point x de D s’écrit
comme la moyenne des valeurs aux bords pondérées par la loi du lieu de sortie
d’un mouvement brownien issu de x. La densité de cette mesure est appelée
noyau de Poisson de D.
Une fonction h harmonique sur un domaine D atteint nécessairement son
maximum sur un compact K en un point du bord de K. Ce principe du maximum fournit l’unicité de la solution du problème de Dirichlet : la différence
de deux solutions est une fonction harmonique nulle sur ∂D et donc nulle sur
D. Le théorème suivant montre que la l’unicité de la solution du problème de
Dirichlet peut aussi se déduit de l’interprétation probabiliste.
24 Problème de Dirichlet
τ := inf {t > 0 : B t /
∈ D}
le temps de sortie de D pour (B t ) t0 . On notera P x la loi de (B t ) t0 sachant
que B 0 = x et E x l’espérance par rapport à cette loi. Le mouvement brownien
est un processus de Markov fort et la formule d’Itô assure que si f est une
fonction de classe C
2 de R
d dans R à dérivées bornées, alors
f (B t ) = f (B 0 ) +
t
0
1
2
Δf (B s ) ds +
t
0
∇f (B s ) dB s .
L’intégrale stochastique (dernier terme) ci-dessus est une martingale. La clé
du lien entre probabilités et analyse est contenue dans la remarque suivante :
(f (B t )) t0 est une martingale si f est une fonction harmonique.
Théorème 24.3 (Harmonicité de la représentation probabiliste). La fonction
v définie sur D par v(x) = E x [b(B τ )] est harmonique sur D.
Il est délicat d’établir la continuité sur D de la fonction v donnée par le
théorème 24.3. Cela fait intervenir les propriétés géométriques du domaine D.
Démonstration. Soit x ∈ D et r < dist(x, ∂D). Notons
τ r := inf {t 0 : B t /
∈ B(x, r)}
le temps de sortie de la boule centrée en x de rayon r pour le mouvement
brownien issu de x. Voir la figure 24.1. La propriété de Markov forte de (B t ) t0
assure alors que
v(x) = E x [E x (b(B τ )|F τr )] = E x
E Xτ r (b(B τ ))
= E x (v(B τr )).
Enfin, comme la loi du mouvement brownien est invariante par rotation, la
v.a. B τr est distribuée selon la loi uniforme sur S(x, r). Cette propriété assure
que la fonction v vérifie la formule de la moyenne sur les sphères.
Remarque 24.4 (Noyau de Poisson). La représentation probabiliste ci-dessus
montre que la solution du problème de Dirichlet en un point x de D s’écrit
comme la moyenne des valeurs aux bords pondérées par la loi du lieu de sortie
d’un mouvement brownien issu de x. La densité de cette mesure est appelée
noyau de Poisson de D.
Une fonction h harmonique sur un domaine D atteint nécessairement son
maximum sur un compact K en un point du bord de K. Ce principe du maximum fournit l’unicité de la solution du problème de Dirichlet : la différence
de deux solutions est une fonction harmonique nulle sur ∂D et donc nulle sur
D. Le théorème suivant montre que la l’unicité de la solution du problème de
Dirichlet peut aussi se déduit de l’interprétation probabiliste.