24.1 Interprétation probabiliste
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Ainsi, si ϕ vérifie la formule de la moyenne sur les sphères, alors ϕ vérifie la
formule de la moyenne sur les boules. Réciproquement, si ϕ est harmonique,
l’expression ci-dessus donne
r
d ϕ(0) = d
r
0
∂B(0,s)
ϕ(y) σ s (dy)s
d−1 ds.
Une dérivation par rapport à r donne la formule de la moyenne sur les sphères.
Montrons que les deux dernières propriétés sont équivalentes. La première
étape consiste à régulariser la fonction ϕ par convolution. Soit x ∈ D, V un
voisinage de x inclus dans D, et ε < dist(V, ∂D). La fonction
Ψ ε : x → c(ε) exp((|x|
2 − ε
2 )
−1 )1 {|x|<ε}
est de classe C
∞ , positive, d’intégrale 1 pour c(ε) bien choisi, à support dans
la boule B(0, ε) et radiale. La fonction ϕ ∗ Ψ ε est donc de classe C
∞ sur V. De
plus, pour tout y ∈ V, la formule de la moyenne sur les sphères assure que
ϕ ∗ Ψ ε (y) =
B(0,ε)
ϕ(y + u)Ψ ε (u)du
=
ε
0
S(0,s)
ϕ(y + sz) σ s (dz)
|S(0, s)|Ψ ε (s)ds
= ϕ(y)
B(0,ε)
Ψ ε (z) dz,
puisque Ψ ε est radiale. Elle est de plus d’intégrale 1 : ϕ et ϕ ∗ Ψ ε coïncident
sur V et ϕ est ainsi de classe C
∞ sur V. Enfin, pour |y| assez petit, on a
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ∇ϕ(x) · y +
1
2
(Hess(ϕ)(x)y) · y + o(|y|
2 ).
En intégrant cette relation sur la sphère centrée de rayon r contre la mesure
uniforme et en faisant tendre r vers 0, on obtient que Δϕ(x) = 0, tandis que
la réciproque s’obtient en intégrant la relation sur une petite boule.
Il reste à établir les propriétés de régularité automatiques des dérivées. La
propagation de l’harmonicité s’obtient par récurrence en dérivant la formule
de la moyenne. De plus, pour tout multi-indice α ∈ N
d , il existe K(ε, α) tel
que, pour tout y ∈ V,
|∂ α ϕ(y)| = |ϕ ∗ ∂ α Ψ ε | K(ε, α) sup
z∈D
|ϕ(z)|.
Un argument de compacité assure le résultat.
24.1 Interprétation probabiliste
La théorie des probabilités fournit les outils nécessaires à l’étude du problème de Dirichlet sous sa forme ÉDP, notamment une représentation probabiliste de la solution. Soit (B t ) t0 un mouvement brownien sur R
d et