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24 Problème de Dirichlet
La température devrait être continue sur l’ensemble du solide si b l’est au bord
∂D de D. On peut donc formuler ainsi le problème de Dirichlet : une fonction
ϕ définie sur D à valeurs dans R est solution du problème de Dirichlet si
1. pour tout point x de ∂D, ϕ(x) = b(x),
2. ϕ est continue sur D,
3. ϕ est harmonique sur D.
Il existe de nombreux théorèmes étudiant l’existence et/ou l’unicité de la
solution du problème de Dirichlet mais bien sûr la solution n’est en général
pas explicite. Dans certains cas très particuliers, il est cependant possible
de donner une représentation intégrale relativement explicite de la solution.
Dans les autres cas, des méthodes numériques, déterministes ou probabilistes,
permettent de résoudre le problème de manière approchée.
Théorème 24.1 (Fonctions harmoniques). Pour toute fonction ϕ : D → R
les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
1. Moyenne sur les boules : ϕ est harmonique ;
2. Moyenne sur les sphères : ϕ est localement intégrable sur D et vérifie
∀x ∈ D, ∀r < dist(x, ∂D), ϕ(x) =
S(0,r)
ϕ(x + y) σ r (dy),
où σ r est la loi uniforme sur la sphère centrée de rayon r ;
3. Laplacien nul : ϕ est de classe C
∞ sur D et Δϕ = 0 sur D.
De plus, si ϕ est harmonique sur D alors toutes ses dérivées partielles sont
harmoniques sur D. Enfin, si |ϕ| est bornée sur D, alors il en va de même
pour toutes les dérivées partielles de ϕ.
Le théorème 24.1 permet de reformuler le problème de Dirichlet en termes
d’équations aux dérivées partielles (ÉDP).
Corollaire 24.2 (Problème de Dirichlet et ÉDP). Une fonction ϕ est solution
du problème de Dirichlet sur D avec conditions aux bords b, si et seulement
si, elle est de classe C
∞ sur D et continue sur D et vérifie
Δϕ(x) = 0 pour tout x ∈ D,
ϕ(x) = b(x) pour tout x ∈ ∂D.
Démonstration du théorème 24.1. Montrons que la seconde propriété implique
la première. Supposons sans perte de généralité que x = 0. Grâce à un changement de variables polaires, on a
1
|B(0, r)|
B(0,r)
ϕ(y) dy =
1
r d |B(0, 1)|
r
0
∂B(0,s)
ϕ(y) σ s (dy)|∂B(0, s)| ds
=
d
r d
r
0
∂B(0,s)
ϕ(y) σ s (dy)s
d−1 ds.
24 Problème de Dirichlet
La température devrait être continue sur l’ensemble du solide si b l’est au bord
∂D de D. On peut donc formuler ainsi le problème de Dirichlet : une fonction
ϕ définie sur D à valeurs dans R est solution du problème de Dirichlet si
1. pour tout point x de ∂D, ϕ(x) = b(x),
2. ϕ est continue sur D,
3. ϕ est harmonique sur D.
Il existe de nombreux théorèmes étudiant l’existence et/ou l’unicité de la
solution du problème de Dirichlet mais bien sûr la solution n’est en général
pas explicite. Dans certains cas très particuliers, il est cependant possible
de donner une représentation intégrale relativement explicite de la solution.
Dans les autres cas, des méthodes numériques, déterministes ou probabilistes,
permettent de résoudre le problème de manière approchée.
Théorème 24.1 (Fonctions harmoniques). Pour toute fonction ϕ : D → R
les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
1. Moyenne sur les boules : ϕ est harmonique ;
2. Moyenne sur les sphères : ϕ est localement intégrable sur D et vérifie
∀x ∈ D, ∀r < dist(x, ∂D), ϕ(x) =
S(0,r)
ϕ(x + y) σ r (dy),
où σ r est la loi uniforme sur la sphère centrée de rayon r ;
3. Laplacien nul : ϕ est de classe C
∞ sur D et Δϕ = 0 sur D.
De plus, si ϕ est harmonique sur D alors toutes ses dérivées partielles sont
harmoniques sur D. Enfin, si |ϕ| est bornée sur D, alors il en va de même
pour toutes les dérivées partielles de ϕ.
Le théorème 24.1 permet de reformuler le problème de Dirichlet en termes
d’équations aux dérivées partielles (ÉDP).
Corollaire 24.2 (Problème de Dirichlet et ÉDP). Une fonction ϕ est solution
du problème de Dirichlet sur D avec conditions aux bords b, si et seulement
si, elle est de classe C
∞ sur D et continue sur D et vérifie
Δϕ(x) = 0 pour tout x ∈ D,
ϕ(x) = b(x) pour tout x ∈ ∂D.
Démonstration du théorème 24.1. Montrons que la seconde propriété implique
la première. Supposons sans perte de généralité que x = 0. Grâce à un changement de variables polaires, on a
1
|B(0, r)|
B(0,r)
ϕ(y) dy =
1
r d |B(0, 1)|
r
0
∂B(0,s)
ϕ(y) σ s (dy)|∂B(0, s)| ds
=
d
r d
r
0
∂B(0,s)
ϕ(y) σ s (dy)s
d−1 ds.