24
Problème de Dirichlet
Mots-clés. Diffusion ; mouvement brownien ; temps de sortie ; équation
de la chaleur ; fonction harmonique.
Outils. Chaîne de Markov ; propriété de Markov ; martingale ; méthode
de Monte-Carlo.
Difficulté. ***
Ce chapitre est consacré au problème de Dirichlet continu, en liaison avec
le mouvement brownien. La version discrète est abordée dans le chapitre 2
consacré aux marches aléatoires. La motivation est l’étude de la répartition
de la température dans un solide. Considérons donc un solide homogène identifié à l’adhérence D d’un ouvert connexe borné D de R
d dont on fixe la
température de surface non nécessairement constante égale à une fonction b.
La température à l’intérieur du solide converge vers un équilibre thermique
que l’on souhaite exprimer en fonction de D et b. Intuitivement, la température en un point intérieur du solide est égale à la moyenne des températures
prises sur toute boule centrée en ce point et incluse dans le solide : la température ϕ vérifie la formule de la moyenne. Pour tout x ∈ R
d et tout réel r 0,
la boule et la sphère de centre x et de rayon r sont notées
B(x, r) := {y ∈ R
d : |x − y| < r} et S(x, r) := {y ∈ R
d : |x − y| = r},
tandis que la boule fermée de centre x et de rayon r est notée
B(x, r) := B(x, r) ∪ S(x, r) = {y ∈ R
d : |x − y| r}.
On notera parfois ∂B(x, r) := S(x, r). On dit que ϕ est harmonique sur D si
elle est localement intégrable et vérifie la formule de la moyenne :
∀x ∈ D, ∀r < dist(x, ∂D), ϕ(x) =
1
|B(0, r)|
B(0,r)
ϕ(x + y) dy.
313
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_24
Problème de Dirichlet
Mots-clés. Diffusion ; mouvement brownien ; temps de sortie ; équation
de la chaleur ; fonction harmonique.
Outils. Chaîne de Markov ; propriété de Markov ; martingale ; méthode
de Monte-Carlo.
Difficulté. ***
Ce chapitre est consacré au problème de Dirichlet continu, en liaison avec
le mouvement brownien. La version discrète est abordée dans le chapitre 2
consacré aux marches aléatoires. La motivation est l’étude de la répartition
de la température dans un solide. Considérons donc un solide homogène identifié à l’adhérence D d’un ouvert connexe borné D de R
d dont on fixe la
température de surface non nécessairement constante égale à une fonction b.
La température à l’intérieur du solide converge vers un équilibre thermique
que l’on souhaite exprimer en fonction de D et b. Intuitivement, la température en un point intérieur du solide est égale à la moyenne des températures
prises sur toute boule centrée en ce point et incluse dans le solide : la température ϕ vérifie la formule de la moyenne. Pour tout x ∈ R
d et tout réel r 0,
la boule et la sphère de centre x et de rayon r sont notées
B(x, r) := {y ∈ R
d : |x − y| < r} et S(x, r) := {y ∈ R
d : |x − y| = r},
tandis que la boule fermée de centre x et de rayon r est notée
B(x, r) := B(x, r) ∪ S(x, r) = {y ∈ R
d : |x − y| r}.
On notera parfois ∂B(x, r) := S(x, r). On dit que ϕ est harmonique sur D si
elle est localement intégrable et vérifie la formule de la moyenne :
∀x ∈ D, ∀r < dist(x, ∂D), ϕ(x) =
1
|B(0, r)|
B(0,r)
ϕ(x + y) dy.
313
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_24