23.4 Pour aller plus loin
311
=
g(1) + g(−1)
b − λ
+ E(I)E
N
i=1
e
λEUi
.
Enfin, par indépendance des variables aléatoires considérées,
E
N
i=1
e
λEUi
|E
= E
Ne
λEU1
|E
= E
N
λE
(e
λE
− 1)|E
=
a
λ
(e
λE
− 1).
Ainsi, pour tout λ < b − a, on obtient
E(I) =
g(1) + g(−1)
b − a − λ
.
Le théorème ergodique montre que si ν est la loi invariante de (V, X) alors
{−1,+1}×R+
e
λx g(v)ν(dv, dx) =
E(I)
E(S)
=
g(1) + g(−1)
2
b − a
b − a − λ
.
Ainsi, la loi invariante ν est la loi (1/2)(δ −1 + δ +1 ) ⊗ Exp(b − a).
23.4 Pour aller plus loin
De nombreux modèles mathématiques pour ces problèmes de déplacement
de bactéries se trouvent par exemple dans les articles de Hans Othmer, Steven Dunbar, et Wolfgang Alt [ODA88], et de Radek Erban et Hans Othmer [EO05]. Le théorème 23.4 est dû à Marc Kac [Kac74]. Dans l’article
de Kac, l’équation aux dérivées partielles du théorème 23.4 apparaît comme
une limite d’échelle de marches aléatoires persistantes, qui modélisent l’évolution d’un courant électrique dans un câble coaxial, ce qui explique le nom
d’équation du télégraphe. Ce lien avec les marches aléatoires persistantes est
également au cœur d’un article de Samuel Herman et Pierre Vallois [HV10].