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23 Modèle du télégraphe
E
S1
S2
S
t
Xt
Fig. 23.2. Décomposition d’une excursion. Les points signalent les sauts de vitesse.
d’où la formule.
Plus de précision est possible sur la structure d’une excursion issue de
(+1, 0). Ceci va permettre d’exprimer la quantité suivante en termes de variables aléatoires classiques :
I =
S
0
e
λXs g(V s ) ds
où g est une fonction définie sur {−1, +1}. Le premier temps de saut E suit la
loi exponentielle de paramètre b. Conditionnellement à {E = x}, le nombre N
d’excursions «greffées» sur le retour à 0 est distribué selon la loi de Poisson de
paramètre ax. Conditionnellement à {E = x, N = k} les k hauteurs auxquelles
elles ont lieu sont distribuées comme (xU (k,k) , xU (k,k−1) , . . . , xU (k,1) ) où les
v.a.r. (U i ) i1 sont i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1] et où (U (1,k) , . . . , U (k,k) )
représente l’échantillon réordonné dans l’ordre croissant. Soient
(V
(i)
t , X
(i)
t ) 0tS (i)
i
des trajectoires indépendantes sur une excursion issue de (+1, 0). On a alors
I = (g(1) + g(−1))
E
0
e
λy dy +
N
i=1
Si
0
e
λ(EU (i,N ) +X
(i)
s ) g(V
(i)
s ) ds.
On a alors
E
Si
0
e
λ(EU (i,N ) +X
(i)
s ) g(V
(i)
s ) ds | E, N, (U i ) i
= E(I)e
λEU (i,N ) .
On en déduit la relation suivante
E(I) = E
g(1) + g(−1)
λ
(e
λE
− 1) + E(I)
N
i=1
e
λEU (i,N )