23.3 Modification ergodique
309
˜
X1
T1
T2 T3
T4
T5
T6
t
Xt
Fig. 23.1. Une trajectoire.
Lemme 23.5 (Longueur d’une excursion). Le domaine de définition de ψ est
] − ∞, λ c ], où λ c est donné par
λ c =
a + b
2
−
√
ab =
(
√
b −
√ a)
2
2
.
De plus, si λ λ c , alors
ψ(λ) =
a + b − 2λ −
(a + b − 2λ) 2 − 4ab
2a
.
En particulier, ψ(λ c ) =
b/a et E (1,0) (S) = 2/(b − a).
Démonstration. Le premier temps de saut T 1 = E pour V lorsque (V 0 , X 0 ) =
(1, 0) suit la loi exponentielle de paramètre b. Si V ne saute pas entre E et
2E alors S = 2E. Dans le cas contraire, (V, X) fait une excursion au-dessus
de X T2 qui a même loi que X. Après cette excursion, (V, X) se trouve en
(−1, X T2 ). Encore une fois, de deux choses l’une : X atteint 0 avant que V ne
saute ou non (dans ce cas, une autre excursion se greffe). La figure 23.2 illustre
ce découpage. Le nombre N d’excursions incluses dans la descente depuis E
suit la loi Poi(aE). On peut donc écrire
S
loi
= 2E +
N
k=1
S k ,
où E, N et (S k ) k1 sont indépendantes. Ainsi on a, pour tout λ dans le
domaine de définition de ψ (qui contient ] − ∞, 0]),
ψ(λ) = E
E
e
2λE+λ
N
k=1
S k
|E, N
=
e
2λE
E
ψ(λ)
N
|E
= E
e
2λE e
aE(ψ(λ)−1)
=
b
b + a − 2λ − aψ(λ)
,