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23 Modèle du télégraphe
Théorème 23.4 (Représentation probabiliste de la solution d’une ÉDP). La
fonction u définie par u(t, x) = E(φ(x + X t )) pour tout t 0 et x ∈ R où
X 0 = 0 et V 0 suit la loi
1
2 δ −1 +
1
2 δ 1 est solution de l’équation du télégraphe :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂
2
tt u(t, x) − ∂
2
xx u(t, x) + 2α∂ t u(t, x) = 0
pour tous t 0, x ∈ R,
u(0, x) = φ(x)
pour tout x ∈ R,
∂ t u(0, x) = 0
pour tout x ∈ R.
L’équation aux dérivées partielles du théorème 23.4 est une superposition
de deux équations classiques : l’équation des ondes ou des cordes vibrantes,
et l’équation de la chaleur. La première décrit la propagation d’un signal sans
amortissement tandis que la seconde traduit un phénomène de diffusion.
23.3 Modification ergodique
Dans cette section, on modifie légèrement la dynamique du processus
(V, X). La vitesse est toujours à valeurs dans {−1, +1} et X correspond encore
à l’intégrale de V . Toutefois, on complique légèrement le mécanisme de saut
de V . Pour simplifier, on construit par récurrence les positions aux instants
de saut de V et on complète ensuite par interpolation.
Soit a > 0 et b > 0 des réels fixés. Soit (E n ) n1 une suite de v.a.r. i.i.d. de
loi exponentielle de paramètre 1 indépendante de ( ˜
V 0 , ˜
X 0 ) ∈ {−1, +1} × R + .
On note T 0 = 0. On définit par récurrence les quantités suivantes :
T n = T n−1 +
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
E n
b
si ˜
V n−1 = 1,
min
E n
a
, ˜
X n−1
si ˜
V n−1 = −1,
puis
˜
V n = − ˜
V n−1 et ˜
X n = ˜
X n−1 + ˜
V n−1 (T n − T n−1 ).
On construit alors le processus (X, V ) en posant V t := ˜
V n−1 si T n−1 t < T n
et X comme interpolation linéaire de ˜
X. Pour résumer, le taux de saut de V
est donné par
b1 {v=1} +
a + ∞1 {x=0}
1 {v=−1} .
Une excursion de (V, X) est une trajectoire issue de (+1, 0) arrêtée à l’instant
S := inf {t > 0 : X t = 0}.
On note ψ la transformée de Laplace de S :
ψ : λ ∈ R → ψ(λ) = E (1,0)
e
λS
.