23.2 Lien entre équation et processus
307
P t+h f − P t f
h
− AP t f =
P h − P 0
h
− A
P t f
·· ∞
−→
h→0
0,
puisque que P t f ∈ C
1
E . De même, l’écriture alternative
P t+h f − P t f
h
= P t
P h − P 0
h
f ;
fournit la relation ∂ t P t f = P t Af .
23.2 Lien entre équation et processus
Soit φ : R → R de classe C
2 . Définissons u
+ et u
− sur R + × R par
u
+ (t, x) := P t φ(1, x) = E(φ(X t ) | V 0 = 1, X 0 = x),
u
− (t, x) := P t φ(−1, x) = E(φ(X t ) | V 0 = −1, X 0 = x),
avec l’abus de notation suivant : on note encore φ l’application (v, x) → φ(x).
Par définition de u
+ et u
− , la dernière formule du théorème 23.3 assure que
∂ t u
+ (t, x) = ∂ t P t φ(1, x) = AP t φ(1, x)
= α(P t φ(−1, x) − P t φ(1, x)) + ∂ x P t φ(1, x)
= α(u
− (t, x) − u
+ (t, x)) + ∂ x u
+ (t, x).
On peut faire de même pour u
− et en déduire que (u
+ , u
− ) est solution de
∂ t u
+ (t, x) = α(u
− (t, x) − u
+ (t, x)) + ∂ x u
+ (t, x)
∂ t u
− (t, x) = α(u
+ (t, x) − u
− (t, x)) − ∂ x u
− (t, x).
En posant
u(t, x) :=
u
+ (t, x) + u
− (t, x)
2
et ˜
u(t, x) :=
u
+ (t, x) − u
− (t, x)
2
,
le couple (u, ˜
u) est solution de
∂ t u(t, x) = ∂ x ˜
u(t, x),
∂ t ˜
u(t, x) = −2α˜ u(t, x) + ∂ x u(t, x).
Dériver la première équation par rapport à t et la seconde par rapport à x
permet de supprimer le terme ∂ t ∂ x ˜
u(t, x) pour obtenir
∂
2
tt u(t, x) = −2α∂ x ˜
u(t, x) + ∂
2
xx u(t, x).
Il reste alors à remplacer ∂ x ˜
u(t, x) par ∂ t u(t, x) pour obtenir que
∂
2
tt u(t, x) − ∂
2
xx u(t, x) + 2α∂ t u(t, x) = 0.
Or lorsque X 0 = x pour un x ∈ R et V 0 ∼
1
2 δ −1 +
1
2 δ 1 alors on trouve
u(t, x) = E(φ(x + X t )), et on a donc démontré le résultat suivant.