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23 Modèle du télégraphe
E
f
(−1)
Nt+s−Nt V t , X t + V t
s
0
(−1)
Nt+u−Nu du
X 0 , V 0 , X t , V t
= P s f (V t , X t ).
On retrouve alors la relation de semi-groupe P t+s f (v, x) = P t ◦ P s f (v, x).
Théorème 23.3 (Générateur infinitésimal). Pour tout t 0 et tout f ∈ C
1
E ,
P t+h f − P t f
h
− AP t f
∞
−→
h→0
0,
où l’opérateur A est défini par
Af (v, x) := α(f (−v, x) − f (v, x)) + v∂ x f (v, x),
pour tout f ∈ C
1
E . En particulier, pour tout t 0 et pour tout f ∈ C
1
E ,
∂ t P t f (v, x) = AP t f (v, x) = P t (Af )(v, x).
Démonstration. Démontrons d’abord le résultat pour t = 0. Soit f ∈ C
1
E , on
a
P h f (v, x) =E
f (V h , X h )1 {N h =0} | V 0 = v, X 0 = x
+ E
f (V h , X h )1 {N h =1} | V 0 = v, X 0 = x
+ E
f (V h , X h )1 {N h 2} | V 0 = v, X 0 = x
.
On étudie ces trois espérances séparément. La valeur absolue de la troisième
et dernière espérance est bornée par
f ∞ P(N h 2) = f ∞ (1 − e
−αh (1 + αh)) = O(h
2 ).
La première espérance vaut
E
f (v, x + vh)1 {N h =0}
= f (v, x + vh)e
−αh
= f (v, x) + h(v∂ x f (v, x) − αf (v, x)) + o(h).
Enfin, la deuxième espérance s’écrit
E
f
−v, x + v
h
0
(−1)
Nu du
1 {N h =1}
= αhe
−αh (f (−v, x) + O(h))
= αhf (−v, x) + o(h)
puisque le terme intégral est borné (en valeur absolue) par h. On a ainsi obtenu
P h f (v, x) = f (v, x) + hAf (v, x) + o(h),
ce qui achève le cas t = 0. Pour étendre le résultat à tout temps t 0, on
utilise la propriété de semi-groupe et la première partie de la preuve :