23.1 Aspects markoviens du processus complet
305
= E
f
(−1)
Nt v, x + v
t
0
(−1)
Ns ds
.
Pour k ∈ N, on note C
k
E l’ensemble des fonctions f : E → R mesurables,
bornées, de classe C
k en la deuxième variable, à dérivées successives bornées.
Théorème 23.2 (Semi-groupe de Markov). La famille (P t ) t0 vérifie :
— pour tout t 0, si 1 est la fonction constante égale à 1, alors P t 1 = 1 ;
— si f est positive, alors P t f l’est aussi ;
— pour tout f ∈ C
k
E et tout t 0, P t f ∈ C
k
E ;
— pour tout f ∈ C
1
E , lim t→0 P t f = f uniformément ;
— pour tous t, s 0 et toute fonction f : E → R mesurable et bornée,
P t+s f (v, x) = P t ◦ P s f (v, x).
On dit que (P t ) t0 est un semi-groupe de Markov.
Démonstration. Les deux premiers points n’offrent pas de difficulté. Pour établir le troisième, on écrit
|P t f (v, x) − f (v, x)| E(|f (V t , X t ) − f (v, x)| | V 0 = v, X 0 = x)
E
|f (V t , X t ) − f (v, x)|1 {Nt=0} | V 0 = v, X 0 = x
+ E
|f (V t , X t ) − f (v, x)|1 {Nt1} | V 0 = v, X 0 = x
Si N t = 0, alors, pour tout s ∈ [0, t], V s = v et X t = x + tv. On a donc
E
|f (V t , X t ) − f (v, x)|1 {Nt=0} | V 0 = v, X 0 = x
= |f (v, x + vt) − f (v, x)|
∂ x f ∞ t,
où on a utilisé |v| = 1. D’autre part,
E
|f (V t , X t ) − f (v, x)|1 {Nt1} | V 0 = v, X 0 = x
2f ∞ P(N t 1)
= 2f ∞
1 − e
−αt
.
Démontrons la dernière propriété. Pour tous s, t 0, on a
P t+s f (v, x) = E{E{f (V t+s , X t+s ) | X 0 , V 0 , X t , V t } | X 0 = x, V 0 = v}.
Par définition de (V, X) on écrit
V t+s = (−1)
Nt+s−Nt V t et X t+s = X t + V t
s
0
(−1)
Nt+u−Nt du.
On utilise ensuite le fait que le processus de Poisson est à accroissements
indépendants et stationnaires, et, en particulier, que (N t+s − N t ) s0 est un
processus de Poisson de paramètre α indépendant de (N u ) 0ut , d’où