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23 Modèle du télégraphe
On souhaite savoir comment évolue la répartition des bactéries au cours du
temps connaissant la répartition à l’instant initial.
Tout d’abord, le processus des vitesses (V t ) t0 est un processus de Markov
sur {−1, +1} dont on peut déterminer la loi. Pour tout t 0, notons
p + (t) = P(V t = +1) et p − (t) = P(V t = −1).
Théorème 23.1 (Loi de la vitesse). Le processus (V t ) t0 admet une unique
loi invariante, qui est la loi de Rademacher symétrique
1
2 δ −1 +
1
2 δ +1 . De plus,
pour tout t 0, loi de V t est donnée par
p + (t) =
1
2
+
p + (0) − p − (0)
2
e
−2αt
et p − (t) =
1
2
−
p + (0) − p − (0)
2
e
−2αt ,
solutions des équations différentielles
p
+ (t) = α(p − (t) − p + (t)) et p
− (t) = α(p + (t) − p − (t)).
Démonstration. La formule
p + (t) =
∞
n=0
P((−1)
n = V 0 )P(N t = n) =
∞
n=0
P((−1)
n = V 0 )e
−αt (αt)
n
n!
conduit immédiatement à l’équation différentielle
p
+ (t) = −αp + (t) + αp − (t).
Or p + + p − = 1, d’où l’équation différentielle vérifiée par p − . De plus
(p + − p − )
(t) = −2α(p + − p − )(t) et (p + + p − )
(t) = 0.
La résolution de ces équations différentielles linéaires donne le résultat.
Dans la section 23.1, on étudie les propriétés markoviennes du processus
V et du processus complet (V, X), héritées de celles du processus de Poisson.
Nous faisons ensuite le lien entre ce processus et une équation aux dérivées
partielles dite du télégraphe dans la section 23.2.
23.1 Aspects markoviens du processus complet
Nous étudions dans cette section le semi-groupe de Markov et le générateur infinitésimal associés au processus (V, X). L’approche est similaire à celle
adoptée pour le processus de croissance-fragmentation dans le chapitre 17 et
pour la file d’attente M/M/∞ dans le chapitre 11. Pour tout t 0 et toute
fonction f mesurable bornée de E dans R, on note
P t f (v, x) = E(f (V t , X t )|V 0 = v, X 0 = x)