23
Modèle du télégraphe
Mots-clés. Processus de Markov déterministe par morceaux ; équation
aux dérivées partielles ; générateur infinitésimal.
Outils. Processus de Poisson ; chaîne de Markov à temps continu ; transformée de Laplace.
Difficulté. ***
On s’intéresse au mouvement d’une bactérie qui possède de quatre à six
flagelles répartis sur sa surface et se déplace en les faisant tourner à la manière
d’un tire-bouchon. Quand ils tournent dans le sens anti-horaire, les flagelles
forment un faisceau propulsif qui produit un déplacement en quasi-ligne droite.
Quand ils tournent dans le sens des aiguilles d’une montre, les flagelles sont
décorrélés et produisent une rotation de la cellule sans déplacement significatif. La cellule alterne donc les déplacements en ligne droite ou «runs» et
les rotations sur place ou «tumbles». La durée moyenne d’un run est d’environ une seconde tandis que le temps moyen d’une rotation est de l’ordre
du dixième de seconde. Dans la suite, on néglige le temps de rotation et on
suppose que le mouvement s’effectue en dimension 1. Dans un milieu isotrope,
le taux d’apparition d’une rotation au cours d’un run est essentiellement indépendant du temps passé depuis la dernière rotation : la longueur d’un run
peut donc être modélisée par une loi exponentielle de paramètre noté α.
Notons X t et V t la position et la vitesse de la bactérie à l’instant t. La
vitesse de la bactérie prend ses valeurs dans l’ensemble {−1, +1} après un
changement d’échelle adéquat. Soit (N t ) t0 un processus de Poisson d’intensité α et (V 0 , X 0 ) une variable aléatoire à valeurs dans E = {−1, +1} × R
indépendante de (N t ) t0 . On définit le processus ((V t , X t )) t0 à valeurs dans
E en posant, pour tout t 0
V t = (−1)
Nt V 0 et X t = X 0 +
t
0
V s ds.
303
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_23
Modèle du télégraphe
Mots-clés. Processus de Markov déterministe par morceaux ; équation
aux dérivées partielles ; générateur infinitésimal.
Outils. Processus de Poisson ; chaîne de Markov à temps continu ; transformée de Laplace.
Difficulté. ***
On s’intéresse au mouvement d’une bactérie qui possède de quatre à six
flagelles répartis sur sa surface et se déplace en les faisant tourner à la manière
d’un tire-bouchon. Quand ils tournent dans le sens anti-horaire, les flagelles
forment un faisceau propulsif qui produit un déplacement en quasi-ligne droite.
Quand ils tournent dans le sens des aiguilles d’une montre, les flagelles sont
décorrélés et produisent une rotation de la cellule sans déplacement significatif. La cellule alterne donc les déplacements en ligne droite ou «runs» et
les rotations sur place ou «tumbles». La durée moyenne d’un run est d’environ une seconde tandis que le temps moyen d’une rotation est de l’ordre
du dixième de seconde. Dans la suite, on néglige le temps de rotation et on
suppose que le mouvement s’effectue en dimension 1. Dans un milieu isotrope,
le taux d’apparition d’une rotation au cours d’un run est essentiellement indépendant du temps passé depuis la dernière rotation : la longueur d’un run
peut donc être modélisée par une loi exponentielle de paramètre noté α.
Notons X t et V t la position et la vitesse de la bactérie à l’instant t. La
vitesse de la bactérie prend ses valeurs dans l’ensemble {−1, +1} après un
changement d’échelle adéquat. Soit (N t ) t0 un processus de Poisson d’intensité α et (V 0 , X 0 ) une variable aléatoire à valeurs dans E = {−1, +1} × R
indépendante de (N t ) t0 . On définit le processus ((V t , X t )) t0 à valeurs dans
E en posant, pour tout t 0
V t = (−1)
Nt V 0 et X t = X 0 +
t
0
V s ds.
303
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_23