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22 Naissances et assassinats
— pour tout p 2, E λ (N
p ) < ∞ si et seulement si
0 < λ <
p
(p + 1) 2 .
En particulier, si λ = 1/4, le processus B est stable puisque E 1/4 N = 2. Il est
aussi montré dans [Bor08] que la loi de N a une queue polynomiale pour tout
0 < λ < 1/4. En effet, pour tout ε > 0, il existe C tel que pour tout t > 0,
P λ (N > t) Ct
−γ(λ)+ε avec γ(λ) =
1 +
√
1 − 4λ
1 −
√
1 − 4λ
.
Les processus de Galton-Watson sous-critiques étudiés au chapitre 3 ne
présentent pas ce comportement à queues lourdes : il existe une constante
c > 0 telle que E λ exp(cN ) < ∞ pour λ < 1. D’autre part, le nombre moyen
d’individus est donné par E λ (N ) = (1 − λ)
−1 : il explose donc quand λ tend
vers la valeur critique 1.
22 Naissances et assassinats
— pour tout p 2, E λ (N
p ) < ∞ si et seulement si
0 < λ <
p
(p + 1) 2 .
En particulier, si λ = 1/4, le processus B est stable puisque E 1/4 N = 2. Il est
aussi montré dans [Bor08] que la loi de N a une queue polynomiale pour tout
0 < λ < 1/4. En effet, pour tout ε > 0, il existe C tel que pour tout t > 0,
P λ (N > t) Ct
−γ(λ)+ε avec γ(λ) =
1 +
√
1 − 4λ
1 −
√
1 − 4λ
.
Les processus de Galton-Watson sous-critiques étudiés au chapitre 3 ne
présentent pas ce comportement à queues lourdes : il existe une constante
c > 0 telle que E λ exp(cN ) < ∞ pour λ < 1. D’autre part, le nombre moyen
d’individus est donné par E λ (N ) = (1 − λ)
−1 : il explose donc quand λ tend
vers la valeur critique 1.