22.3 Pour aller plus loin
301
On procède comme pour le principe de rotation du lemme 3.18. Pour tout
k, notons σ(k) l’entier compris entre 1 et n égal à k modulo n. Pour tout
l = 1, . . . , n, on définit S
l par
S
(l)
0 = 0 et S
(l)
k+1 = S
(l)
k + X σ(k+l) .
On a S = S
(l) . La somme totale S
(l)
n ne dépend pas de l et vaut S n . Comme
(X 1 , . . . , X n ) et (X l , . . . , X n , X 1 , . . . , X l−1 ) ont même loi, il vient
P
min
1kn
S k > 0
S n > 0
=
1
n
E
n
l=1
1
min 1kn S
(l)
k
>0
| S n > 0
.
À présent, la somme dans le membre de droite est minorée par 1 car sur
{S n > 0}, il existe une valeur (aléatoire) de l pour laquelle le minimum de
S
(l) est strictement positif : le plus grand indice pour lequel l → S l atteint
son minimum. Il est utile de faire un dessin et comparer avec la figure 3.3
page 3.3. Ceci fournit la minoration annoncée.
22.3 Pour aller plus loin
Le modèle présenté a été introduit dans un article [AK90] de David Aldous et William Krebs. Le lien avec un modèle de file d’attente est abordé
dans l’article [TPH86] de John Tsitsiklis, Christos Papadimitriou, et Pierre
Humblet. Un lien avec la marche aléatoire branchante se trouve dans l’article
[Kor15] de Igor Kortchemski. Le théorème de (Herman) Chernoff, qui serait
dû à Herman Rubin, est démontré par exemple dans le livre [DZ10] de Amir
Dembo et Ofer Zeitouni.
Le théorème 22.2 laisse entière la question de la stabilité éventuelle de B
au point critique. Une réponse précise peut être apportée dans un cas particulier important. Supposons que la loi d’assassinat soit exponentielle. Par
changement d’échelle de temps, on peut supposer sans perte de généralité que
son paramètre vaut 1, ce qui donne ϕ(u) = (1 − u)
−1
1 [0,1[ (u) + ∞1 [1,∞[ (u),
d’où min u>0 λu
−1 ϕ(u) = 4λ (minimum atteint en u = 1/2). Le théorème 22.2
assure que B est stable si 0 < λ < 1/4 et instable si λ > 1/4. On note E λ
l’espérance par rapport à la loi de B λ et N le nombre total d’individus qui sont
nés, ancêtre compris. L’article [Bor08] de Charles Bordenave montre notamment que les moments de N satisfont les propriétés d’intégrabilité suivantes :
— si 0 < λ < 1/4 alors
E λ (N ) =
2
1 +
√
1 − 4λ
;
— si 0 < λ < 2/9 alors
E λ (N
2 ) =
2
3
√
1 − 4λ − 1
;
301
On procède comme pour le principe de rotation du lemme 3.18. Pour tout
k, notons σ(k) l’entier compris entre 1 et n égal à k modulo n. Pour tout
l = 1, . . . , n, on définit S
l par
S
(l)
0 = 0 et S
(l)
k+1 = S
(l)
k + X σ(k+l) .
On a S = S
(l) . La somme totale S
(l)
n ne dépend pas de l et vaut S n . Comme
(X 1 , . . . , X n ) et (X l , . . . , X n , X 1 , . . . , X l−1 ) ont même loi, il vient
P
min
1kn
S k > 0
S n > 0
=
1
n
E
n
l=1
1
min 1kn S
(l)
k
>0
| S n > 0
.
À présent, la somme dans le membre de droite est minorée par 1 car sur
{S n > 0}, il existe une valeur (aléatoire) de l pour laquelle le minimum de
S
(l) est strictement positif : le plus grand indice pour lequel l → S l atteint
son minimum. Il est utile de faire un dessin et comparer avec la figure 3.3
page 3.3. Ceci fournit la minoration annoncée.
22.3 Pour aller plus loin
Le modèle présenté a été introduit dans un article [AK90] de David Aldous et William Krebs. Le lien avec un modèle de file d’attente est abordé
dans l’article [TPH86] de John Tsitsiklis, Christos Papadimitriou, et Pierre
Humblet. Un lien avec la marche aléatoire branchante se trouve dans l’article
[Kor15] de Igor Kortchemski. Le théorème de (Herman) Chernoff, qui serait
dû à Herman Rubin, est démontré par exemple dans le livre [DZ10] de Amir
Dembo et Ofer Zeitouni.
Le théorème 22.2 laisse entière la question de la stabilité éventuelle de B
au point critique. Une réponse précise peut être apportée dans un cas particulier important. Supposons que la loi d’assassinat soit exponentielle. Par
changement d’échelle de temps, on peut supposer sans perte de généralité que
son paramètre vaut 1, ce qui donne ϕ(u) = (1 − u)
−1
1 [0,1[ (u) + ∞1 [1,∞[ (u),
d’où min u>0 λu
−1 ϕ(u) = 4λ (minimum atteint en u = 1/2). Le théorème 22.2
assure que B est stable si 0 < λ < 1/4 et instable si λ > 1/4. On note E λ
l’espérance par rapport à la loi de B λ et N le nombre total d’individus qui sont
nés, ancêtre compris. L’article [Bor08] de Charles Bordenave montre notamment que les moments de N satisfont les propriétés d’intégrabilité suivantes :
— si 0 < λ < 1/4 alors
E λ (N ) =
2
1 +
√
1 − 4λ
;
— si 0 < λ < 2/9 alors
E λ (N
2 ) =
2
3
√
1 − 4λ − 1
;