300
22 Naissances et assassinats
min
u>0
E
e
uZ1
= p min
u>0
λϕ(u)
λp + u
> p(1 + ε/2).
Le lemme 22.3 appliqué à la suite (Z n ) n1 assure que, pour k assez grand,
P
min
1jk
j
i=1
Z i > 0
> p
k (1 + ε/2)
k .
On obtient donc
p
1 − p
k
n, k(n)=k
P(n est né)(1 − p)
σ(n) > p
k (1 + ε/2)
k .
On divise par p
k et on fait tendre p vers 0. Par convergence monotone,
n, k(n)=k
P(n est né) (1 + ε/2)
k > 1,
ce qui fournit la relation
n, k(n)=k
P(n est né) > 1.
Achevons la démonstration du théorème 22.2. On dira qu’un individu est
spécial si c’est l’ancêtre ou si c’est un individu de la génération nk qui descend
d’un individu spécial à la génération (n−1)k dont le père est mort. La relation
obtenue ci-dessus nous apprend que le nombre moyen d’individus spéciaux à la
génération k est strictement supérieur à (1+ε/2)
k . De même, le nombre moyen
d’individus spéciaux à la génération nk est supérieur à (1 + ε/2)
nk . Ainsi, le
processus de comptage des individus spéciaux est un processus de GaltonWatson sur-critique. Avec une probabilité strictement positive, ce processus
ne s’éteint pas (voir le théorème 3.7 page 3.7). C’est donc également pour B.
Terminons cette section par la démonstration du lemme 22.3.
Démonstration du lemme 22.3. Sous les hypothèses du lemme 22.3, on peut
démontrer que le résultat du lemme 22.3 est vrai pour l’instant terminal en
utilisant le théorème de Chernoff :
lim
n→∞
1
n
log P
n
i=1
X i > 0
= log(ρ).
Montrons à présent que
P
min
1kn
S k > 0
1
n
P(S n > 0) où S k =
k
i=1
X i .