22.2 Condition suffisante d’instabilité
299
puis de conclure grâce à un argument de type branchement.
Soit (N i ) i1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramètre p indépendante du processus B. À la génération k,
on considère l’individu N = (N 1 , . . . , N k ) ainsi que sa lignée ancestrale formée des individus N(i) = (N 1 , . . . , N i ) pour 0 i k. Exprimons de deux
manières différentes la probabilité que N naisse. D’une part,
P(N est né) =
n, k(n)=k
P
N est né
N = n
P(N = n)
=
n, k(n)=k
P(n est né)p
k (1 − p)
n1+···+n k −k
=
p
1 − p
k
n, k(n)=k
P(n est né)(1 − p)
σ(n) .
D’autre part, posons
Z i = K N(i−1) − T
N(i−1)
Ni
,
pour tout i 1. Comme dans la première partie de la preuve,
P(N est né) = P
j
i=1
T
N(i−1)
Ni
<
j
i=1
K N(i−1) , j = 1, . . . , k
= P
j
i=1
Z i > 0, j = 1, . . . , k
.
On estime cette probabilité avec le lemme suivant, démontré en fin de section.
Lemme 22.3 (Déviation asymptotique). Si (X i ) i1 est une suite de v.a.r.
i.i.d. avec E(X 1 ) < 0, P(X 1 > 0) > 0, et si la transformée de Laplace ψ de
X 1 est finie au voisinage de 0, alors
lim
n→∞
1
n
log P
min
1kn
k
i=1
X i > 0
log(ρ), où ρ := min
u>0
ψ(u).
La variable aléatoire T
N(i−1)
Ni
suit la loi exponentielle
1 Exp(λp). Les variables aléatoires (Z i ) i1 sont i.i.d. de transformée de Laplace et de moyenne
E
e
uZ1
= ϕ(u)
λp
λp + u
et E(Z 1 ) = ϕ
(0) −
1
pλ
.
Ainsi, l’espérance de Z 1 est strictement négative pour p assez petit. De plus,
si l’on note α = 1 + ε, on peut choisir p suffisamment petit pour que
1. Le lemme 11.4 affirme que si G, E1, E2, . . . sont des v.a. indépendantes avec G
de loi géométrique de paramètre p et E1, E2, . . . de loi exponentielle de paramètre λ
alors la somme aléatoire E1 + · · · + EG suit la loi exponentielle de paramètre pλ.