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22 Naissances et assassinats
En sommant sur n, on obtient
n
P(n est né)
∞
k=1
ϕ(u)
k
⎡
⎣
n, k(n)=k
λ
λ + u
σ(n)
⎤
⎦ .
D’autre part,
n, k(n)=k
λ
λ + u
σ(n)
=
mk
card{n : k(n) = k, σ(n) = m}
λ
λ + u
횾 m
=
λ
u
k
mk
card{n : k(n) = k, σ(n) = m}
u
u + λ
k
λ
u + λ
m−k
.
L’entier card{n : k(n) = k, σ(n) = m} représente le nombre de m-uplets à
coordonnées 0 ou 1 contenant exactement k 1. Le terme général de la dernière
somme ci-dessus est donc la probabilité que dans un schéma de Bernoulli de
probabilité de succès u/(u + λ) le k
e succès survienne au temps m (c’est la loi
binomiale négative). On retrouve au passage
card{n : k(n) = k, σ(n) = m} =
m − 1
k − 1
.
On a donc
n, k(n)=k
λ
λ + u
σ(n)
=
λ
u
k
.
En d’autres termes, on a donc montré que
m
k1
λϕ(u)
u
k
.
Si α < 1, alors le nombre moyen d’individus créés est fini, et B est stable.
22.2 Condition suffisante d’instabilité
Démontrons à présent la seconde partie du théorème 22.2. L’idée principale
est de montrer que, si α > 1, il existe k 1 tel que
n, k(n)=k
P(n est né) > 1