22.1 Condition suffisante de stabilité
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— le processus B est stable si α < 1 ;
— le processus B est instable si α > 1.
Les sections 22.1 et 22.2 sont consacrées à la preuve des deux conclusions
du théorème 22.2.
22.1 Condition suffisante de stabilité
Introduisons le nombre moyen de descendants de ∅,
m :=
n
P(n est né) ∈ [0, +∞].
Si B est instable, alors par définition, il n’existe pas de temps (aléatoire)
fini à partir duquel le système est vide, donc le nombre de descendants de
∅ est infini avec probabilité non nulle, et donc m = ∞. Par conséquent, si
m < ∞ alors B est stable. Il suffit donc d’établir que m < ∞ dès que α < 1.
À l’individu n = (n 1 , . . . , n k ), on associe sa lignée ancestrale formée des
individus n(i) = (n 1 , . . . , n i ) pour 0 i k (avec n(0) = ∅). L’individu n
voit le jour si, pour tout 0 i k, son ancêtre n(i − 1) à la génération i a eu
au moins n i descendants :
{n est né} =
j
i=1
T
n(i−1)
ni
<
j
i=1
K n(i−1) , j = 1, 2, . . . , k(n)
.
En particulier,
P(n est né) P
⎛
⎝
k(n)
i=1
T
n(i−1)
ni
<
k(n)
i=1
K n(i−1)
⎞
⎠ .
L’inégalité de Markov assure que, pour tout u > 0,
P
⎛
⎝
k(n)
i=1
T
n(i−1)
ni
<
k(n)
i=1
K n(i−1)
⎞
⎠
E
⎛
⎝ exp
⎛
⎝ u
k(n)
i=1
K n(i−1) − u
k(n)
i=1
T
n(i−1)
ni
⎞
⎠
⎞
⎠ .
L’indépendance des processus de naissances et d’assassinats permet d’écrire
E
⎛
⎝ exp
⎛
⎝ u
k(n)
i=1
K n(i−1) − u
k(n)
i=1
T
n(i−1)
ni
⎞
⎠
⎞
⎠ = ϕ(u)
k(n)
k(n)
i=1
λ
λ + u
ni
.