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22 Naissances et assassinats
N = ∪ n0 (N
∗ )
n
l’ensemble des n-uplets d’entiers strictement positifs, avec la convention
(N
∗ )
0 = ∅. Pour n ∈ N , notons k(n) le nombre de coordonnées de n. Le
nombre d’individus qui ont dû naître pour que n naisse vaut
σ(n) := n 1 + · · · + n k(n) .
On adopte les conventions k(∅) = 0 = σ(∅).
Soit (X
n ) n∈N une famille de processus de Poisson indépendants de même
intensité λ. On notera (T
n
k ) k1 les temps de saut du processus X
n . Soit
(K n ) n∈N une famille de v.a.r. i.i.d. strictement positives de même loi Q. On
suppose que les familles (X
n ) n∈N et (K n ) n∈N sont indépendantes.
Le processus est initialisé à t = 0 avec un unique ancêtre étiqueté par ∅.
Cet individu donne naissance à des enfants aux instants de saut du processus de Poisson X
∅ qui entrent dans le système à leur tour avec les indices
(1), (2), . . . dans l’ordre de leurs naissances. Chaque nouvel individu n entrant
dans le système commence à donner des descendants aux instants de saut du
processus X
n ; les descendants de n sont indicés par (n, 1), (n, 2), . . . toujours
dans l’ordre chronologique.
Le patriarche est exposé dès le temps 0. Il donne naissance à des enfants jusqu’au temps aléatoire Y ∅ := K ∅ où il disparaît. Chacun de ses
enfants devient le patriarche de son clan et est à son tour exposé. Soit
n = (n 1 , . . . , n k−1 , n k ) dans N et n
:= (n 1 , . . . , n k−1 ). Quand n
est supprimé, au temps aléatoire Y n , n devient exposé ; il continue à avoir des descendants jusqu’au temps aléatoire Y n := Y n +K n puis est à son tour supprimé.
Exemple 22.1. Dire que l’individu (3, 2) est né, c’est dire que
— l’individu ∅ a eu au moins trois enfants avant de mourir : T
∅
3 intervient avant la mort de ∅ à l’instant K ∅ ;
— l’individu (3) a eu au moins deux enfants avant de mourir c’est-à-dire
que T
(3)
2
intervient avant la mort de (3) à l’instant K ∅ + K (3) .
On a donc
{(3, 2) est né} =
T
∅
3 < K ∅ , T
∅
3 + T
(3)
2
< K ∅ + K (3)
.
On dit que le système de naissances et d’assassinats est stable si, avec
probabilité 1, il existe un temps fini à partir duquel le système est vide. Sinon
on dit que le système est instable.
Théorème 22.2 (Conditions suffisantes de stabilité et d’instabilité). Soit B
un processus de naissances et d’assassinats d’intensité λ dont la transformée
de Laplace u → ϕ(u) =
∞
0
e
ux Q(dx) de Q est finie au voisinage de 0, et soit
α := min
u>0
λϕ(u)
u
.
Alors on dispose de conditions suffisantes de stabilité et d’instabilité :
22 Naissances et assassinats
N = ∪ n0 (N
∗ )
n
l’ensemble des n-uplets d’entiers strictement positifs, avec la convention
(N
∗ )
0 = ∅. Pour n ∈ N , notons k(n) le nombre de coordonnées de n. Le
nombre d’individus qui ont dû naître pour que n naisse vaut
σ(n) := n 1 + · · · + n k(n) .
On adopte les conventions k(∅) = 0 = σ(∅).
Soit (X
n ) n∈N une famille de processus de Poisson indépendants de même
intensité λ. On notera (T
n
k ) k1 les temps de saut du processus X
n . Soit
(K n ) n∈N une famille de v.a.r. i.i.d. strictement positives de même loi Q. On
suppose que les familles (X
n ) n∈N et (K n ) n∈N sont indépendantes.
Le processus est initialisé à t = 0 avec un unique ancêtre étiqueté par ∅.
Cet individu donne naissance à des enfants aux instants de saut du processus de Poisson X
∅ qui entrent dans le système à leur tour avec les indices
(1), (2), . . . dans l’ordre de leurs naissances. Chaque nouvel individu n entrant
dans le système commence à donner des descendants aux instants de saut du
processus X
n ; les descendants de n sont indicés par (n, 1), (n, 2), . . . toujours
dans l’ordre chronologique.
Le patriarche est exposé dès le temps 0. Il donne naissance à des enfants jusqu’au temps aléatoire Y ∅ := K ∅ où il disparaît. Chacun de ses
enfants devient le patriarche de son clan et est à son tour exposé. Soit
n = (n 1 , . . . , n k−1 , n k ) dans N et n
:= (n 1 , . . . , n k−1 ). Quand n
est supprimé, au temps aléatoire Y n , n devient exposé ; il continue à avoir des descendants jusqu’au temps aléatoire Y n := Y n +K n puis est à son tour supprimé.
Exemple 22.1. Dire que l’individu (3, 2) est né, c’est dire que
— l’individu ∅ a eu au moins trois enfants avant de mourir : T
∅
3 intervient avant la mort de ∅ à l’instant K ∅ ;
— l’individu (3) a eu au moins deux enfants avant de mourir c’est-à-dire
que T
(3)
2
intervient avant la mort de (3) à l’instant K ∅ + K (3) .
On a donc
{(3, 2) est né} =
T
∅
3 < K ∅ , T
∅
3 + T
(3)
2
< K ∅ + K (3)
.
On dit que le système de naissances et d’assassinats est stable si, avec
probabilité 1, il existe un temps fini à partir duquel le système est vide. Sinon
on dit que le système est instable.
Théorème 22.2 (Conditions suffisantes de stabilité et d’instabilité). Soit B
un processus de naissances et d’assassinats d’intensité λ dont la transformée
de Laplace u → ϕ(u) =
∞
0
e
ux Q(dx) de Q est finie au voisinage de 0, et soit
α := min
u>0
λϕ(u)
u
.
Alors on dispose de conditions suffisantes de stabilité et d’instabilité :