22
Naissances et assassinats
Mots-clés. Dynamique de population.
Outils. Processus de Poisson ; processus de Galton-Watson ; théorème de
Chernoff.
Difficulté. ***
On s’intéresse à l’extinction ou à la survie d’une population organisée en
clans. Chaque individu vivant donne naissance à des enfants selon un processus
de Poisson et ne peut pas mourir tant que son père est en vie. Dès que celui-ci
disparaît tous ses enfants sont exposés et meurent après un temps aléatoire
propre de loi Q. Une configuration à un instant donné est une collection finie
d’arbres généalogiques munis d’un patriarche qui seul peut être assassiné.
∅
(1)
(2)
(1,1)
(1,2)
Fig. 22.1. Patriarche et quelques-uns de ses descendants.
Le patriarche de la population entière sera noté (∅). Chacun de ses descendants est identifié à un k-uplet d’entiers strictement positifs pour k 1.
Par exemple, (1) est le premier enfant de l’ancêtre, tandis que (1, 2) est le
deuxième enfant du premier enfant de l’ancêtre, voir figure 22.1. Le nombre
de coordonnées indique la génération de l’individu. Soit
295
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_22
Naissances et assassinats
Mots-clés. Dynamique de population.
Outils. Processus de Poisson ; processus de Galton-Watson ; théorème de
Chernoff.
Difficulté. ***
On s’intéresse à l’extinction ou à la survie d’une population organisée en
clans. Chaque individu vivant donne naissance à des enfants selon un processus
de Poisson et ne peut pas mourir tant que son père est en vie. Dès que celui-ci
disparaît tous ses enfants sont exposés et meurent après un temps aléatoire
propre de loi Q. Une configuration à un instant donné est une collection finie
d’arbres généalogiques munis d’un patriarche qui seul peut être assassiné.
∅
(1)
(2)
(1,1)
(1,2)
Fig. 22.1. Patriarche et quelques-uns de ses descendants.
Le patriarche de la population entière sera noté (∅). Chacun de ses descendants est identifié à un k-uplet d’entiers strictement positifs pour k 1.
Par exemple, (1) est le premier enfant de l’ancêtre, tandis que (1, 2) est le
deuxième enfant du premier enfant de l’ancêtre, voir figure 22.1. Le nombre
de coordonnées indique la génération de l’individu. Soit
295
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_22