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21 Matrices aléatoires
mathématique. Le théorème de Marchenko-Pastur a été obtenu par Vladimir Marchenko et Leonid Pastur dans les années 1960. La loi du demi-cercle
constitue un analogue de la loi gaussienne dans la théorie des probabilités
libres initiée par Dan-Virgil Voiculescu, en liaison avec les matrices aléatoires.
Le théorème 21.1 de Wigner a été obtenu par Wigner dans les années
1950 sous des hypothèses plus restrictives. La version la plus aboutie date
de la fin des années 1970. La convergence étroite de la mesure de comptage μ n n’empêche pas une fraction asymptotiquement négligeable d’atomes
d’exploser quand n → ∞. Cependant, le théorème de Bai-Yin affirme que si
E(M
4
11 ) < ∞ alors presque sûrement le support de μ n converge vers le support
[−2σ, 2σ] de la limite μ
σ , c’est-à-dire que presque sûrement
lim
n→∞
λ n = −2σ et
lim
n→∞
λ 1 = 2σ.
La partie combinatoire de la preuve du théorème de Wigner est détaillée par
exemple dans le livre de Zhidong Bai et Jack Silverstein [BS10], et dans le livre
de Greg Anderson, Alice Guionnet et Ofer Zeitouni [AGZ10]. Le théorème de
Wigner peut également être obtenu par une méthode analytique, en utilisant
la transformée de Cauchy-Stieltjes, faisant apparaître la loi du demi-cercle
comme solution d’une équation de point fixe. Le théorème de Wigner est
également présenté dans les notes de cours de Mireille Capitaine [Cap12] et
dans celles de Charles Bordenave [Bor14b]. Le contenu de la section 21.2
est inspiré de [Cha13]. Notons enfin qu’au-delà du théorème 21.7, il existe
une condition suffisante pour que μ ∈ P soit caractérisée par ses moments
(κ n ) n1 , connue sous le nom de condition de Torsten Carleman, et liée à la
quasi-analycité
7 de la transformée de Fourier :
n
κ
−1/(2n)
2n
= ∞.
Les inégalités de Courant-Fischer ainsi que les lemmes 21.4 et 21.3 (inégalité de Hoffman-Wielandt) sont démontrés par exemple dans le livre de Roger
Horn et Charles Johnson [HJ13] et dans le livre de Rajendra Bhatia [Bha97].
7. Une fonction f : R → R de classe C
∞ est quasi-analytique si elle est caractérisée par ses dérivées successives en 0, parmi une classe de fonctions assez large.
21 Matrices aléatoires
mathématique. Le théorème de Marchenko-Pastur a été obtenu par Vladimir Marchenko et Leonid Pastur dans les années 1960. La loi du demi-cercle
constitue un analogue de la loi gaussienne dans la théorie des probabilités
libres initiée par Dan-Virgil Voiculescu, en liaison avec les matrices aléatoires.
Le théorème 21.1 de Wigner a été obtenu par Wigner dans les années
1950 sous des hypothèses plus restrictives. La version la plus aboutie date
de la fin des années 1970. La convergence étroite de la mesure de comptage μ n n’empêche pas une fraction asymptotiquement négligeable d’atomes
d’exploser quand n → ∞. Cependant, le théorème de Bai-Yin affirme que si
E(M
4
11 ) < ∞ alors presque sûrement le support de μ n converge vers le support
[−2σ, 2σ] de la limite μ
σ , c’est-à-dire que presque sûrement
lim
n→∞
λ n = −2σ et
lim
n→∞
λ 1 = 2σ.
La partie combinatoire de la preuve du théorème de Wigner est détaillée par
exemple dans le livre de Zhidong Bai et Jack Silverstein [BS10], et dans le livre
de Greg Anderson, Alice Guionnet et Ofer Zeitouni [AGZ10]. Le théorème de
Wigner peut également être obtenu par une méthode analytique, en utilisant
la transformée de Cauchy-Stieltjes, faisant apparaître la loi du demi-cercle
comme solution d’une équation de point fixe. Le théorème de Wigner est
également présenté dans les notes de cours de Mireille Capitaine [Cap12] et
dans celles de Charles Bordenave [Bor14b]. Le contenu de la section 21.2
est inspiré de [Cha13]. Notons enfin qu’au-delà du théorème 21.7, il existe
une condition suffisante pour que μ ∈ P soit caractérisée par ses moments
(κ n ) n1 , connue sous le nom de condition de Torsten Carleman, et liée à la
quasi-analycité
7 de la transformée de Fourier :
n
κ
−1/(2n)
2n
= ∞.
Les inégalités de Courant-Fischer ainsi que les lemmes 21.4 et 21.3 (inégalité de Hoffman-Wielandt) sont démontrés par exemple dans le livre de Roger
Horn et Charles Johnson [HJ13] et dans le livre de Rajendra Bhatia [Bha97].
7. Une fonction f : R → R de classe C
∞ est quasi-analytique si elle est caractérisée par ses dérivées successives en 0, parmi une classe de fonctions assez large.