288
21 Matrices aléatoires
qui montre que 3 ⇒ 2. Comme 2 ⇒ 1, on a bien 1⇔2⇔3. Si ces propriétés
ont lieu, alors les arguments précédents donnent un r > 0 tel que ϕ est développable en série entière en tout x ∈ R avec un rayon de convergence r. De
proche en proche, on obtient que ϕ est caractérisée par ses dérivées en zéro.
Enfin, si μ est à support compact, disons inclus dans [−C, C] pour une
constante C > 0, alors |κ n | C
n pour tout n 1, et comme la formule de Stirling n! ∼
√
2πn(n/e)
n donne (1/n!)
1/n = O(1/n), il vient
lim n→∞ (
1
n! |κ n |)
1/n = 0, et donc μ est caractérisée par ses moments.
Théorème 21.8 (Moments de la loi du demi-cercle). La loi du demi-cercle
μ
σ est caractérisée par ses moments. De plus, pour tout entier r 0,
x
2r+1 dμ
σ (r) = 0 et
x
2r dμ
σ (r) = σ
2r 1
r + 1
2r
r
.
En particulier μ
σ a pour moyenne 0 et variance σ
2 , et les moments pairs de
la loi du demi-cercle standard μ
1 sont les nombres de Catalan.
Démonstration. La loi μ
σ est caractérisée par ses moments car son support
[−σ, σ] est compact (lemme 21.7). Les moments impairs sont nuls car μ
σ est
symétrique. Pour calculer les moments pairs, par dilatation et parité,
x
2r dμ
σ (x) =
σ
2r
π
2
0
x
2r
4 − x 2 dx.
Par le changement de variable x = 2 cos(u) et une intégration par parties,
2
0
x
2r
4 − x 2 dx =
π
2
0
4
r+1 cos
2r (u) sin
2 (u) du =
4
r+1
2r + 1
π
2
0
cos
2(r+1) (u) du.
Cette dernière expression est une classique intégrale de Wallis.
21.4 Preuve du théorème de Wigner simplifié
Grâce au théorème 21.6 et au théorème 21.8, la preuve du théorème de
Wigner simplifié 21.2 se ramène à établir le théorème 21.9 ci-dessous.
Théorème 21.9 (Convergence des moments). Sous les hypothèses du théorème de Wigner simplifié 21.2 on a, pour tout entier r 1,
E
x
r dμ n −→
n→∞
x
r dμ
σ .
Démonstration. On se ramène au cas σ
2 = 1 par dilatation. Les moments de
la loi du demi-cercle μ
1 sont donnés par le théorème 21.8. Pour tout entier
r 1, le moment d’ordre r de Eμ n s’écrit (avec i r+1 := i 1 )
21 Matrices aléatoires
qui montre que 3 ⇒ 2. Comme 2 ⇒ 1, on a bien 1⇔2⇔3. Si ces propriétés
ont lieu, alors les arguments précédents donnent un r > 0 tel que ϕ est développable en série entière en tout x ∈ R avec un rayon de convergence r. De
proche en proche, on obtient que ϕ est caractérisée par ses dérivées en zéro.
Enfin, si μ est à support compact, disons inclus dans [−C, C] pour une
constante C > 0, alors |κ n | C
n pour tout n 1, et comme la formule de Stirling n! ∼
√
2πn(n/e)
n donne (1/n!)
1/n = O(1/n), il vient
lim n→∞ (
1
n! |κ n |)
1/n = 0, et donc μ est caractérisée par ses moments.
Théorème 21.8 (Moments de la loi du demi-cercle). La loi du demi-cercle
μ
σ est caractérisée par ses moments. De plus, pour tout entier r 0,
x
2r+1 dμ
σ (r) = 0 et
x
2r dμ
σ (r) = σ
2r 1
r + 1
2r
r
.
En particulier μ
σ a pour moyenne 0 et variance σ
2 , et les moments pairs de
la loi du demi-cercle standard μ
1 sont les nombres de Catalan.
Démonstration. La loi μ
σ est caractérisée par ses moments car son support
[−σ, σ] est compact (lemme 21.7). Les moments impairs sont nuls car μ
σ est
symétrique. Pour calculer les moments pairs, par dilatation et parité,
x
2r dμ
σ (x) =
σ
2r
π
2
0
x
2r
4 − x 2 dx.
Par le changement de variable x = 2 cos(u) et une intégration par parties,
2
0
x
2r
4 − x 2 dx =
π
2
0
4
r+1 cos
2r (u) sin
2 (u) du =
4
r+1
2r + 1
π
2
0
cos
2(r+1) (u) du.
Cette dernière expression est une classique intégrale de Wallis.
21.4 Preuve du théorème de Wigner simplifié
Grâce au théorème 21.6 et au théorème 21.8, la preuve du théorème de
Wigner simplifié 21.2 se ramène à établir le théorème 21.9 ci-dessous.
Théorème 21.9 (Convergence des moments). Sous les hypothèses du théorème de Wigner simplifié 21.2 on a, pour tout entier r 1,
E
x
r dμ n −→
n→∞
x
r dμ
σ .
Démonstration. On se ramène au cas σ
2 = 1 par dilatation. Les moments de
la loi du demi-cercle μ
1 sont donnés par le théorème 21.8. Pour tout entier
r 1, le moment d’ordre r de Eμ n s’écrit (avec i r+1 := i 1 )