21.3 Convergence des moments et convergence étroite
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d’où enfin
lim
R→∞
ϕ R P dν
=
P dν.
En utilisant cela pour P
2 , qui est positive, on obtient d’abord par convergence
monotone que P ∈ L
2 (ν
) ⊂ L
1 (ν
), puis par convergence dominée que
P dν
=
P dν.
Comme P est arbitraire et ν est caractérisée par ses moments, on a ν = ν
.
Un théorème de Weierstrass affirme que pour tout compact K ⊂ R, les
polynômes R[X] restreints à K sont denses dans C(K, R, 횾·· ∞ ). Ainsi, toute
loi de probabilité à support compact est caractérisée par ses moments parmi
l’ensemble des lois à support compact. Le théorème suivant permet d’aller plus
loin, car il implique que toute loi à support compact est caractérisée par ses
moments parmi l’ensemble des lois dont tous les moments sont finis. C’est le
cas en particulier de la loi du demi-cercle μ
σ .
Théorème 21.7 (Analycité de la transformée de Fourier et moments). Soit
μ ∈ P. On pose ϕ(t) =
e
itx dμ(x) et κ n =
x
n dμ(x). Les propositions
suivantes sont équivalentes :
1. ϕ est analytique sur un voisinage de 0,
2. ϕ est analytique sur R,
3. lim n→∞
1
n! |κ n |
1
n < ∞.
Si ces conditions sont vérifiées alors μ est caractérisée par ses moments.
En particulier, une loi à support compact est caractérisée par ses moments.
Démonstration. Pour tout n, on a
|x|
n dμ < ∞ et donc ϕ est n fois dérivable
sur R. De plus, ϕ
(n) est continue sur R et pour tout t ∈ R,
ϕ
(n) (t) =
R
(ix)
n e
itx dμ(x).
En particulier, ϕ
(n) (0) = i
n κ n , et la série de Taylor de ϕ en 0 est déterminée
par la suite (κ n ) n1 . Le rayon de convergence r de la série entière
n a n z
n
associée à la suite de nombres complexes (a n ) n0 est donné par la formule de
Hadamard r
−1 = lim n |a n |
1
n . Ainsi, 1⇔ 3 (prendre a n = i
n κ n /n!). D’autre
part, comme pour tout n ∈ N, s, t ∈ R,
e
isx
e
itx
− 1 −
itx
1!
− · · · −
(itx)
n−1
(n − 1)!
|tx|
n
n!
,
on a pour tout n ∈ N pair et tous s, t ∈ R,
ϕ(s + t) − ϕ(s) −
t
1!
ϕ
(s) − · · · −
t
n−1
(n − 1)!
ϕ
(n−1) (s)
κ n
|t|
n
n!
,