21.4 Preuve du théorème de Wigner simplifié
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E
x
r dμ n (x) =
1
n
n
k=1
λ
r
n,k
=
1
n 1+r/2 Tr(M
r )
=
1
n 1+r/2
1i1,...,irn
E(M i1i2 · · · M irir+1 ).
Comme les coefficients diagonaux de M sont nuls, on a
E
x dμ n =
1
n 3/2
n
i=1
EM ii = 0 =
x dμ
1 (x)
et comme M a des coefficient hors diagonale centrés et réduits, on a
E
x
2 dμ n =
1
n 2
1
E(M
2
ij ) =
n
2
− n
n 2 → 1 =
x
2 dμ
1 (x).
L’étude du moment d’ordre 3 est un peu plus subtile. On a
E
x
3 dμ n =
1
n 1+3/2
1i,j,kn
E(M ij M jk M ki ).
Si deux éléments parmi {{i, j}, {j, k}, {k, i}} sont distincts alors on a forcément E(M ij M jk M ki ) = 0 par indépendance et centrage. Dans le cas contraire,
on a i = k ou i = j ou k = j, ce qui conduit à E(M ij M jk M ki ) = 0 car la
diagonale de M est nulle. Ainsi, le moment d’ordre 3 de μ n est égal à zéro,
tout comme le moment d’ordre 3 de μ
1 .
Pour le moment d’ordre 4, on pourrait procéder de même en utilisant
E
x
4 dμ n =
1
n 1+4/2
1i,j,k,ln
E(M ij M jk M kl M li ).
Mais un phénomène nouveau se produit cette fois-ci : le cas i = k et j = l
avec i = j donne E(M ij M jk M kl M li ) = E(M
4
ij ), qui n’est pas fonction des
deux premiers moments des coefficients de M . Cependant, il n’y a pas de
contradiction : ces termes n’ont pas de contribution asymptotique quand n
tend vers ∞ car leur nombre, n(n − 1), est négligeable devant n
1+4/2 = n
3 .
Plus généralement, pour tout entier r > 1 on a
E
x
r dμ n (x) =
1
n 1+r/2
1i1,...,irn
E(M i1i2 · · · M irir+1 ).
On peut supposer que i k = i k+1 pour tout 1 k r −1 car la diagonale de M
est nulle. On associe à chaque r-uplet d’indices de ce type i 1 , . . . , i r un multigraphe orienté, voir figures 21.2 et 21.3. Les sommets du multi-graphe orienté