21.3 Convergence des moments et convergence étroite
285
f dμ A −
f dμ B
=
+∞
−∞
f
(t)(F A (t) − F B (t)) dt
r
n
+∞
−∞
|f
(t)| dt :=
r
n
f
1 .
On note A(x 1 , . . . , x n ) ∈ M n (C) la matrice hermitienne dont les lignes du
triangle supérieur sont x 1 , . . . , x n (vecteurs de C
n , C
n−1 , . . . , C), et on pose
G(x 1 , . . . , x n ) =
f dμ A(x1,...,xn) .
En notant y := (x 1 , . . . , x n ) et y
:= (x 1 , . . . , x k−1 , x
k , x k+1 , . . . , x n ), il vient
rang{A(y) − A(y
)} 2 et donc |G(y) − G(y
)|
2
n
f
1 .
À présent H :=
1
√
n
(M C − E(M C ) − D C ) est hermitienne aléatoire à valeurs
dans M n (C). Les lignes de son triangle supérieur (H ij ) 1ijn sont indépendantes (vecteurs aléatoires de C
n , C
n−1 , . . . , C). Grâce au lemme 21.5, pour
toute fonction f de classe C
1 et à support compact, et pour tout réel t 0,
P
f dμ H − E
f dμ H
t
2 exp
−
nt
2
8f
2
1
.
Cette inégalité exprime le fait que μ H est très concentrée autour de son espérance Eμ H . C’est pour cette raison que les fluctuations sont si faibles dans
les simulations, dès que la dimension dépasse quelques dizaines. On a
f dμ H − E
f dμ H
P
−→
n→∞
0.
Pour tirer parti de la rapidité de convergence, on pose t = n
−1/2+ε avec ε > 0
petit fixé, de sorte que la borne exponentielle dans le membre de droite de
l’inégalité soit sommable en n. Le lemme de Borel-Cantelli entraîne alors que
f dμ H − E
f dμ H
p.s.
−→
n→∞
0.
Cela ramène l’étude de la convergence étroite presque sûre de μ H à celle de
la convergence étroite de Eμ H . Ainsi, le théorème de Wigner 21.1 est une
conséquence du théorème de Wigner simplifié 21.2.
21.3 Convergence des moments et convergence étroite
Cette section est dédiée à ce qu’on appelle méthode des moments. Soit P
l’ensemble des lois de probabilité ν sur R telles que R[X] ⊂ L
1 (ν), muni de la
relation d’équivalence ν 1 ∼ ν 2 ssi
P dν 1 =
P dν 2 pour tout P ∈ R[X], c’està-dire que ν 1 et ν 2 ont les mêmes moments. On dit que ν ∈ P est caractérisée
par ses moments lorsque sa classe d’équivalence est un singleton.
285
f dμ A −
f dμ B
=
+∞
−∞
f
(t)(F A (t) − F B (t)) dt
r
n
+∞
−∞
|f
(t)| dt :=
r
n
f
1 .
On note A(x 1 , . . . , x n ) ∈ M n (C) la matrice hermitienne dont les lignes du
triangle supérieur sont x 1 , . . . , x n (vecteurs de C
n , C
n−1 , . . . , C), et on pose
G(x 1 , . . . , x n ) =
f dμ A(x1,...,xn) .
En notant y := (x 1 , . . . , x n ) et y
:= (x 1 , . . . , x k−1 , x
k , x k+1 , . . . , x n ), il vient
rang{A(y) − A(y
)} 2 et donc |G(y) − G(y
)|
2
n
f
1 .
À présent H :=
1
√
n
(M C − E(M C ) − D C ) est hermitienne aléatoire à valeurs
dans M n (C). Les lignes de son triangle supérieur (H ij ) 1ijn sont indépendantes (vecteurs aléatoires de C
n , C
n−1 , . . . , C). Grâce au lemme 21.5, pour
toute fonction f de classe C
1 et à support compact, et pour tout réel t 0,
P
f dμ H − E
f dμ H
t
2 exp
−
nt
2
8f
2
1
.
Cette inégalité exprime le fait que μ H est très concentrée autour de son espérance Eμ H . C’est pour cette raison que les fluctuations sont si faibles dans
les simulations, dès que la dimension dépasse quelques dizaines. On a
f dμ H − E
f dμ H
P
−→
n→∞
0.
Pour tirer parti de la rapidité de convergence, on pose t = n
−1/2+ε avec ε > 0
petit fixé, de sorte que la borne exponentielle dans le membre de droite de
l’inégalité soit sommable en n. Le lemme de Borel-Cantelli entraîne alors que
f dμ H − E
f dμ H
p.s.
−→
n→∞
0.
Cela ramène l’étude de la convergence étroite presque sûre de μ H à celle de
la convergence étroite de Eμ H . Ainsi, le théorème de Wigner 21.1 est une
conséquence du théorème de Wigner simplifié 21.2.
21.3 Convergence des moments et convergence étroite
Cette section est dédiée à ce qu’on appelle méthode des moments. Soit P
l’ensemble des lois de probabilité ν sur R telles que R[X] ⊂ L
1 (ν), muni de la
relation d’équivalence ν 1 ∼ ν 2 ssi
P dν 1 =
P dν 2 pour tout P ∈ R[X], c’està-dire que ν 1 et ν 2 ont les mêmes moments. On dit que ν ∈ P est caractérisée
par ses moments lorsque sa classe d’équivalence est un singleton.