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21 Matrices aléatoires
À présent, comme les variables aléatoires ((M C ) ij ) 1i,jn sont de même
moyenne m C := E((M C ) ij ), on a rang(E(M C )) = rang(m C 1 n ) 1 et donc
d KS
μ 1
√
n
M C , μ 1
√
n
(M C −E(M C ))
1
n
−→
n→∞
0.
Par conséquent, il suffit d’établir le théorème de Wigner 21.1 pour la matrice
M C − E(M C ) (en lieu et place de M ) pour tout réel C > 0.
Suppression de la diagonale
La méthode utilisée pour la troncature permet de la même manière de
supprimer la diagonale : si D C := diag((M C − E(M C )) ii : 1 i n) est la
matrice diagonale formée par la diagonale de la matrice M C − E(M C ), alors
W 2 (μ 1
√
n
(M C −E(M C )) , μ 1
√
n
(M C −E(M C )−D C ) )
2
1
n 2
n
i=1
|M ii |
2
1 {|Mii|C}
p.s.
−→
n→∞
0
grâce à la loi des grands nombres. Ceci montre qu’il suffit d’établir le théorème
de Wigner 21.1 pour la matrice M C − E(M C ) − D C , pour tout réel C > 0.
Réduction à la mesure spectrale empirique moyenne
Dans cette sous-section nous allons montrer qu’il suffit d’établir le théorème de Wigner 21.1 pour la mesure spectrale empirique moyenne
Eμ 1
√
n
(M C −E(M C )−D C ) ,
et ce pour tout réel C > 0. Le lemme suivant, de même nature que l’inégalité
de Tchebychev, est une reformulation du lemme 20.3.
Lemme 21.5 (Inégalité de concentration d’Azuma-Hoeffding). Considérons
des vecteurs aléatoires X 1 , . . . , X n indépendants pas forcément de même dimension. Si G(X 1 , . . . , X n ) est une variable aléatoire réelle et intégrable, fonction mesurable de ces vecteurs, alors pour tout t 0,
P(|G(X 1 , . . . , X n ) − E(G(X 1 , . . . , X n ))| t) 2 exp
−
2t
2
c 2
1 + · · · + c 2
n
où c k := sup (x,x )∈D k |G(x) − G(x
)| et D k := {(x, x
) : x i = x
i si i = k}.
Voyons comment utiliser ce lemme. Soit f : R → R est de classe C
1 et à
support compact, et A, B ∈ M n (C) hermitiennes. Le lemme 21.4 donne
F A − F B ∞
r
n
où r := rang(A − B),
et par intégration par parties,
21 Matrices aléatoires
À présent, comme les variables aléatoires ((M C ) ij ) 1i,jn sont de même
moyenne m C := E((M C ) ij ), on a rang(E(M C )) = rang(m C 1 n ) 1 et donc
d KS
μ 1
√
n
M C , μ 1
√
n
(M C −E(M C ))
1
n
−→
n→∞
0.
Par conséquent, il suffit d’établir le théorème de Wigner 21.1 pour la matrice
M C − E(M C ) (en lieu et place de M ) pour tout réel C > 0.
Suppression de la diagonale
La méthode utilisée pour la troncature permet de la même manière de
supprimer la diagonale : si D C := diag((M C − E(M C )) ii : 1 i n) est la
matrice diagonale formée par la diagonale de la matrice M C − E(M C ), alors
W 2 (μ 1
√
n
(M C −E(M C )) , μ 1
√
n
(M C −E(M C )−D C ) )
2
1
n 2
n
i=1
|M ii |
2
1 {|Mii|C}
p.s.
−→
n→∞
0
grâce à la loi des grands nombres. Ceci montre qu’il suffit d’établir le théorème
de Wigner 21.1 pour la matrice M C − E(M C ) − D C , pour tout réel C > 0.
Réduction à la mesure spectrale empirique moyenne
Dans cette sous-section nous allons montrer qu’il suffit d’établir le théorème de Wigner 21.1 pour la mesure spectrale empirique moyenne
Eμ 1
√
n
(M C −E(M C )−D C ) ,
et ce pour tout réel C > 0. Le lemme suivant, de même nature que l’inégalité
de Tchebychev, est une reformulation du lemme 20.3.
Lemme 21.5 (Inégalité de concentration d’Azuma-Hoeffding). Considérons
des vecteurs aléatoires X 1 , . . . , X n indépendants pas forcément de même dimension. Si G(X 1 , . . . , X n ) est une variable aléatoire réelle et intégrable, fonction mesurable de ces vecteurs, alors pour tout t 0,
P(|G(X 1 , . . . , X n ) − E(G(X 1 , . . . , X n ))| t) 2 exp
−
2t
2
c 2
1 + · · · + c 2
n
où c k := sup (x,x )∈D k |G(x) − G(x
)| et D k := {(x, x
) : x i = x
i si i = k}.
Voyons comment utiliser ce lemme. Soit f : R → R est de classe C
1 et à
support compact, et A, B ∈ M n (C) hermitiennes. Le lemme 21.4 donne
F A − F B ∞
r
n
où r := rang(A − B),
et par intégration par parties,