21.2 Réduction à un cas plus simple
283
1
n 2
n
i=1
n
j=1
|M ij |
2
1 {|Mij |>C}
p.s.
−→
n→∞
E(|M 12 |
2
1 {|M12|>C} ).
Par le théorème de convergence dominée ou par le théorème de convergence
monotone, le membre de droite peut être rendu arbitrairement proche de 0
en choisissant C assez grand. Par conséquent, il suffit d’établir le théorème de
Wigner 21.1 pour M C (en lieu et place de M ) pour tout réel C > 0. Cependant
les coefficients de la matrice M C ne sont plus forcément centrés car la loi des
coefficients de M n’est pas forcément symétrique.
Réduction au cas centré
Dans cette sous-section, nous allons montrer qu’il suffit d’établir le théorème de Wigner 21.1 pour M C − E(M C ) pour tout réel C > 0.
L’orthogonalité des sous-espaces propres des matrices symétriques conduit
aux formules variationnelles min-max de Courant-Fischer pour les valeurs
propres. Plus précisément, si A ∈ M n (C) est hermitienne de valeurs propres
λ 1 (A) · · · λ n (A), alors pour tout 1 k n, en notant G k l’ensemble des
sous-espaces vectoriels de C
n de dimension k, on a
λ k (A) = max
V ∈G k
min
x∈V
x 2 =1
Ax, x = min
V ∈G n−k+1
max
x∈V
x 2 =1
Ax, x.
Les cas k = 1 et k = n sont familiers. Ces formules sont un résultat classique
d’algèbre linéaire, tout comme le lemme suivant, que nous admettons. Des
références sont données dans la section 21.5. On note F A la la fonction de
répartition de la mesure spectrale μ A :=
1
n
n
k=1 δ λ k (A) . Pour tout t ∈ R,
F A (t) := μ A (] − ∞, t]) =
1 ]−∞,t] dμ A =
card{1 k n : λ k (A) t}
n
.
Lemme 21.4 (Entrelacement pour les perturbations additives de faible rang).
Si A, B ∈ M n (C) sont hermitiennes de valeurs propres λ 1 (A) · · · λ n (A)
et λ 1 (B) · · · λ n (B) et si r := rang(B − A) alors
λ k+r (A) λ k (B) λ k−r (A)
pour tout 1 k n, avec la convention λ k (A) = +∞ si k < 1 et λ k (A) = −∞
si k > n. En particulier on a
d KS (μ A , μ B ) := F A − F B ∞ := sup
t∈R
|F A (t) − F B (t)|
rang(A − B)
n
.
La notation d KS désigne la distance de Kolmogorov-Smirnov entre les lois
de probabilités discrètes μ A et μ B . Il est bien connu que la convergence en
distance de Kolmogorov-Smirnov entraîne la convergence étroite.
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1
n 2
n
i=1
n
j=1
|M ij |
2
1 {|Mij |>C}
p.s.
−→
n→∞
E(|M 12 |
2
1 {|M12|>C} ).
Par le théorème de convergence dominée ou par le théorème de convergence
monotone, le membre de droite peut être rendu arbitrairement proche de 0
en choisissant C assez grand. Par conséquent, il suffit d’établir le théorème de
Wigner 21.1 pour M C (en lieu et place de M ) pour tout réel C > 0. Cependant
les coefficients de la matrice M C ne sont plus forcément centrés car la loi des
coefficients de M n’est pas forcément symétrique.
Réduction au cas centré
Dans cette sous-section, nous allons montrer qu’il suffit d’établir le théorème de Wigner 21.1 pour M C − E(M C ) pour tout réel C > 0.
L’orthogonalité des sous-espaces propres des matrices symétriques conduit
aux formules variationnelles min-max de Courant-Fischer pour les valeurs
propres. Plus précisément, si A ∈ M n (C) est hermitienne de valeurs propres
λ 1 (A) · · · λ n (A), alors pour tout 1 k n, en notant G k l’ensemble des
sous-espaces vectoriels de C
n de dimension k, on a
λ k (A) = max
V ∈G k
min
x∈V
x 2 =1
Ax, x = min
V ∈G n−k+1
max
x∈V
x 2 =1
Ax, x.
Les cas k = 1 et k = n sont familiers. Ces formules sont un résultat classique
d’algèbre linéaire, tout comme le lemme suivant, que nous admettons. Des
références sont données dans la section 21.5. On note F A la la fonction de
répartition de la mesure spectrale μ A :=
1
n
n
k=1 δ λ k (A) . Pour tout t ∈ R,
F A (t) := μ A (] − ∞, t]) =
1 ]−∞,t] dμ A =
card{1 k n : λ k (A) t}
n
.
Lemme 21.4 (Entrelacement pour les perturbations additives de faible rang).
Si A, B ∈ M n (C) sont hermitiennes de valeurs propres λ 1 (A) · · · λ n (A)
et λ 1 (B) · · · λ n (B) et si r := rang(B − A) alors
λ k+r (A) λ k (B) λ k−r (A)
pour tout 1 k n, avec la convention λ k (A) = +∞ si k < 1 et λ k (A) = −∞
si k > n. En particulier on a
d KS (μ A , μ B ) := F A − F B ∞ := sup
t∈R
|F A (t) − F B (t)|
rang(A − B)
n
.
La notation d KS désigne la distance de Kolmogorov-Smirnov entre les lois
de probabilités discrètes μ A et μ B . Il est bien connu que la convergence en
distance de Kolmogorov-Smirnov entraîne la convergence étroite.