282
21 Matrices aléatoires
Réduction au cas borné
Dans cette sous-section, nous allons montrer qu’il suffit d’établir le théorème de Wigner 21.1 dans le cas particulier où les coefficients de la matrice
sont bornés. On procède par troncature. Soit C > 0 un réel et
(M C ) ij := M ij 1 {|Mij |C} .
Notons P 2 l’ensemble des lois sur R possédant un moment d’ordre 2 fini.
La distance de Wasserstein W 2 sur P 2 est définie pour tous ν 1 , ν 2 ∈ P 2 par
W 2 (ν 1 , ν 2 )
2 :=
inf
(X1,X2)
X1∼ν1,X2∼ν2
E(|X 1 − X 2 |
2 )
où l’infimum porte sur l’ensemble des couples de variables aléatoires (X 1 , X 2 )
de lois marginales ν 1 et ν 2 . La convergence pour la distance de Wasserstein
W 2 entraîne la convergence étroite. Dans le cas de lois discrètes de la forme
ν 1 =
1
n
n
k=1
δ a k et ν 2 =
1
n
n
k=1
δ b k
avec a 1 · · · a n et b 1 · · · b n , on trouve
W 2 (ν 1 , ν 2 )
2 =
1
n
n
k=1
(a i − b i )
2 .
Rappelons que M n (C) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
A, B := Tr(AB
∗ ). La norme associée est appelée norme de Hilbert-Schmidt
4
A
2
HS = Tr(AA
∗ ) =
n
i=1
n
j=1
|A ij |
2 =
n
i=1
λ i (A)
2 .
Le lemme suivant, admis, est un résultat classique d’algèbre linéaire. Des
références sont données dans la section 21.5.
Lemme 21.3 (Inégalité de Hoffman-Wielandt). Si A, B ∈ M n (C) sont hermitiennes de spectres λ 1 (A) · · · λ n (A) et λ 1 (B) · · · λ n (B) alors
nW 2 (μ A , μ B )
2 =
n
k=1
(λ k (A) − λ k (B))
2
n
i=1
n
j=1
|A ij − B ij |
2 = A − B
2
HS .
Par le lemme de Hoffman-Wielandt 21.3 et la loi forte des grands nombres,
W 2 (μ 1
√
n
M , μ 1
√
n
M C )
2
4. Ou encore norme de Schur ou norme de Frobenius.