21.2 Réduction à un cas plus simple
281
où la convergence p.s. provient ici encore de la loi des grands nombres. D’autre
part, par l’inégalité de Markov, p.s. pour tout r > 0,
μ n ([−r, r]
c )
1
r 2
x
2 dμ n (x) −→
n→∞
σ
2
r 2 .
Par conséquent, presque sûrement, pour tout ε > 0 il existe un compact
K ε = [−r ε , r ε ] tel que μ n (K ε ) ε pour tout n 1. Ainsi, presque sûrement,
la suite (μ n ) n1 est tendue, et le théorème de Prohorov
3 affirme alors que
cette suite est relativement compacte pour la convergence étroite, en ce sens
que si elle possède une unique valeur d’adhérence pour la convergence étroite
alors elle converge étroitement. Malgré cette observation réconfortante, nous
allons utiliser une autre approche pour démontrer le théorème de Wigner.
L’idée consiste à se ramener à des fonctions test f polynomiales (section
21.3) puis à établir la convergence des moments (section 21.4) en s’inspirant
de la méthode utilisée ci-dessus pour les moments d’ordre 1 et 2. Mais cela
nécessite tout d’abord de réduire le problème à un cas plus simple !
21.2 Réduction à un cas plus simple
La mesure spectrale empirique moyenne Eμ n est la mesure de probabilité
définie pour toute fonction f : R → R mesurable et positive (ou bornée) par
f dEμ n := E
f dμ n := E
1
n
n
k=1
f (λ n,k )
.
Le but de cette section est de réduire le théorème de Wigner 21.1 à une
version simplifiée, le théorème 21.2 ci-dessous, qui concerne la suite de mesures
de probabilités (Eμ n ) n1 lorsque la matrice M a une diagonale nulle et des
coefficients hors diagonale bornés. Le théorème 21.2 est démontré plus loin,
dans la section 21.4, en utilisant la méthode des moments de la section 21.3.
Théorème 21.2 (de Wigner simplifié). Soit M = (M ij ) 1i,jn une matrice
réelle symétrique aléatoire, à diagonale nulle M 11 = · · · = M nn = 0, telle
que les variables aléatoires (M ij ) 1i
2 finie et non nulle, et à support compact
[−C, C], C > 0. Soit μ n =
1
n
n
k=1 δ λ n,k la mesure empirique des valeurs
propres de
1
√
n
M . Alors pour toute fonction f : R → R continue et bornée,
lim
n→∞
E
f dμ n =
f dμ
σ .
Le théorème 21.2 est démontré dans la section 21.4.
3. Un ensemble de mesures de probabilités est tendu si et seulement si il est séquentiellement relativement compact pour la topologie de la convergence étroite. En
particulier, si une suite de mesures de probabilités est tendue et possède une unique
valeur d’adhérence pour la convergence étroite, alors elle converge étroitement.
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où la convergence p.s. provient ici encore de la loi des grands nombres. D’autre
part, par l’inégalité de Markov, p.s. pour tout r > 0,
μ n ([−r, r]
c )
1
r 2
x
2 dμ n (x) −→
n→∞
σ
2
r 2 .
Par conséquent, presque sûrement, pour tout ε > 0 il existe un compact
K ε = [−r ε , r ε ] tel que μ n (K ε ) ε pour tout n 1. Ainsi, presque sûrement,
la suite (μ n ) n1 est tendue, et le théorème de Prohorov
3 affirme alors que
cette suite est relativement compacte pour la convergence étroite, en ce sens
que si elle possède une unique valeur d’adhérence pour la convergence étroite
alors elle converge étroitement. Malgré cette observation réconfortante, nous
allons utiliser une autre approche pour démontrer le théorème de Wigner.
L’idée consiste à se ramener à des fonctions test f polynomiales (section
21.3) puis à établir la convergence des moments (section 21.4) en s’inspirant
de la méthode utilisée ci-dessus pour les moments d’ordre 1 et 2. Mais cela
nécessite tout d’abord de réduire le problème à un cas plus simple !
21.2 Réduction à un cas plus simple
La mesure spectrale empirique moyenne Eμ n est la mesure de probabilité
définie pour toute fonction f : R → R mesurable et positive (ou bornée) par
f dEμ n := E
f dμ n := E
1
n
n
k=1
f (λ n,k )
.
Le but de cette section est de réduire le théorème de Wigner 21.1 à une
version simplifiée, le théorème 21.2 ci-dessous, qui concerne la suite de mesures
de probabilités (Eμ n ) n1 lorsque la matrice M a une diagonale nulle et des
coefficients hors diagonale bornés. Le théorème 21.2 est démontré plus loin,
dans la section 21.4, en utilisant la méthode des moments de la section 21.3.
Théorème 21.2 (de Wigner simplifié). Soit M = (M ij ) 1i,jn une matrice
réelle symétrique aléatoire, à diagonale nulle M 11 = · · · = M nn = 0, telle
que les variables aléatoires (M ij ) 1i
2 finie et non nulle, et à support compact
[−C, C], C > 0. Soit μ n =
1
n
n
k=1 δ λ n,k la mesure empirique des valeurs
propres de
1
√
n
M . Alors pour toute fonction f : R → R continue et bornée,
lim
n→∞
E
f dμ n =
f dμ
σ .
Le théorème 21.2 est démontré dans la section 21.4.
3. Un ensemble de mesures de probabilités est tendu si et seulement si il est séquentiellement relativement compact pour la topologie de la convergence étroite. En
particulier, si une suite de mesures de probabilités est tendue et possède une unique
valeur d’adhérence pour la convergence étroite, alors elle converge étroitement.