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21 Matrices aléatoires
Théorème 21.1 (Wigner). Supposons que (M ij ) i1,j1 soient des v.a.r. i.i.d.
centrées et de variance finie et non nulle σ
2 . Soit M = (M i,j ) 1i,jn avec
M j,i := M i,j . Soit μ n =
1
n
n
k=1 δ λ n,k la mesure empirique des valeurs propres
de
1
√
n
M . Alors presque sûrement, la suite de mesures de probabilité (μ n ) n1
converge étroitement vers la loi du demi-cercle μ
σ de densité
x →
√
4σ 2 − x 2
2πσ 2 1 [−2σ,2σ] (x).
En d’autres termes, p.s. pour toute fonction f : R → R continue et bornée,
f dμ n −→
n→∞
f dμ
σ .
Rappelons que la convergence étroite des mesures de probabilités est la
convergence pour les fonctions test continues et bornées. Elle est équivalente
à la convergence ponctuelle des fonctions caractéristiques, ainsi qu’à la convergence ponctuelle des fonctions de répartition en tout point de continuité de la
limite. Pour les variables aléatoires, cela correspond à la convergence en loi.
Le nom «loi du demi-cercle» utilisé pour désigner μ
σ vient du fait que la
densité est l’équation d’un demi-cercle (à une constante de normalisation près
égale à la moitié de l’aire du cercle). Comme μ
σ n’a pas d’atomes, le théorème
de Wigner affirme que presque sûrement, pour tout intervalle I ⊂ R,
lim
n→∞
μ n (I) = μ
σ (I) =
I∩[−2σ,2σ]
√
4σ 2 − x 2
2πσ 2
dx.
Ainsi, la proportion de valeurs propres de M n’appartenant pas à l’intervalle
[−2σ
√ n, 2σ
√ n] tend vers zéro quand n → ∞. Le théorème de Wigner met
en lumière un phénomène d’universalité, en ce sens que la loi limite μ
σ ne
dépend de la loi des coefficients de la matrice M qu’à travers leur variance σ
2 .
Le comportement de la moyenne de μ n peut être compris en observant que
x dμ n (x) =
1
n
n
k=1
λ n,k =
1
n
Tr
1
√ n
M
=
1
n 3/2
1in
M ii
p.s.
−→
n→∞
0 =
x dμ
σ (x)
où la convergence p.s. provient de la loi des grands nombres. La normalisation
en 1/
√ n de M peut être comprise à son tour en observant tout d’abord que
x
2 dμ n (x) =
1
n
n
k=1
λ
2
n,k =
1
n
Tr
1
√ n
M
2
=
1
n 2
1i,jn
M
2
ij
p.s.
−→
n→∞
σ
2 =
x
2 dμ
σ (x)
21 Matrices aléatoires
Théorème 21.1 (Wigner). Supposons que (M ij ) i1,j1 soient des v.a.r. i.i.d.
centrées et de variance finie et non nulle σ
2 . Soit M = (M i,j ) 1i,jn avec
M j,i := M i,j . Soit μ n =
1
n
n
k=1 δ λ n,k la mesure empirique des valeurs propres
de
1
√
n
M . Alors presque sûrement, la suite de mesures de probabilité (μ n ) n1
converge étroitement vers la loi du demi-cercle μ
σ de densité
x →
√
4σ 2 − x 2
2πσ 2 1 [−2σ,2σ] (x).
En d’autres termes, p.s. pour toute fonction f : R → R continue et bornée,
f dμ n −→
n→∞
f dμ
σ .
Rappelons que la convergence étroite des mesures de probabilités est la
convergence pour les fonctions test continues et bornées. Elle est équivalente
à la convergence ponctuelle des fonctions caractéristiques, ainsi qu’à la convergence ponctuelle des fonctions de répartition en tout point de continuité de la
limite. Pour les variables aléatoires, cela correspond à la convergence en loi.
Le nom «loi du demi-cercle» utilisé pour désigner μ
σ vient du fait que la
densité est l’équation d’un demi-cercle (à une constante de normalisation près
égale à la moitié de l’aire du cercle). Comme μ
σ n’a pas d’atomes, le théorème
de Wigner affirme que presque sûrement, pour tout intervalle I ⊂ R,
lim
n→∞
μ n (I) = μ
σ (I) =
I∩[−2σ,2σ]
√
4σ 2 − x 2
2πσ 2
dx.
Ainsi, la proportion de valeurs propres de M n’appartenant pas à l’intervalle
[−2σ
√ n, 2σ
√ n] tend vers zéro quand n → ∞. Le théorème de Wigner met
en lumière un phénomène d’universalité, en ce sens que la loi limite μ
σ ne
dépend de la loi des coefficients de la matrice M qu’à travers leur variance σ
2 .
Le comportement de la moyenne de μ n peut être compris en observant que
x dμ n (x) =
1
n
n
k=1
λ n,k =
1
n
Tr
1
√ n
M
=
1
n 3/2
1in
M ii
p.s.
−→
n→∞
0 =
x dμ
σ (x)
où la convergence p.s. provient de la loi des grands nombres. La normalisation
en 1/
√ n de M peut être comprise à son tour en observant tout d’abord que
x
2 dμ n (x) =
1
n
n
k=1
λ
2
n,k =
1
n
Tr
1
√ n
M
2
=
1
n 2
1i,jn
M
2
ij
p.s.
−→
n→∞
σ
2 =
x
2 dμ
σ (x)