21.1 Théorème de Wigner
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Fig. 21.1. Illustration du théorème 21.1 de Wigner : densité de la loi du demi-cercle
μ
1 et histogramme des valeurs propres d’une matrice symétrique de taille n = 1000
dont les coefficients du triangle supérieur, diagonale incluse, sont des v.a.r. i.i.d. de
loi uniforme sur l’intervalle [−
3/n,
3/n] (la variance vaut donc 1/n).
λ n,1 , . . . , λ n,n sont ici des v.a.r. dépendantes
2 . Pour tout borélien B ⊂ R,
μ n (B) =
card{1 k n : λ n,k ∈ B}
n
.
Pour toute fonction f : R → R mesurable, on a
f dμ n =
1
n
n
k=1
f (λ n,k ).
La fonction de répartition F n de μ n est donnée pour tout x ∈ R par
F n (x) := μ n (] − ∞, x]) =
1 ]−∞,x] dμ n =
card{1 k n : λ n,k x}
n
.
Le théorème de Wigner est un analogue de la loi des grands nombres.
2. Fonctions non linéaires de M (racines du polynôme caractéristique !).