278
21 Matrices aléatoires
On souhaite étudier le comportement de la matrice aléatoire
Σ n lorsque la
dimension des données d = d n dépend de n et tend vers ∞. Simplifions en
posant Σ = I d . Cela nous conduit au modèle suivant : on se donne une famille
(Y ij ) i,j1 de v.a.r. i.i.d. de moyenne 0 et de variance 1, et pour tout entier
n 1, on considère la matrice aléatoire d n × d n symétrique
1
n
Y Y
où Y = (Y ij ) 1idn,1jn . Si n → d n est constante et égale à d alors
1
n Y Y
converge presque sûrement vers la matrice Σ = I. Il est naturel de chercher à comprendre le comportement de la matrice aléatoire
1
n Y Y
lorsque d n
dépend de n, par exemple en étudiant son spectre. L’analyse de la matrice
symétrique Y Y
est rendue difficile par le fait que ses coefficients sont dépendants. Cela suggère d’analyser en première approche des matrices aléatoires
symétriques dont les coefficients sont indépendants dans le triangle supérieur,
ce qui conduit au théorème de Wigner, objet principal de ce chapitre. Nous
reviendrons aux matrices de covariance empiriques dans la section 21.5.
21.1 Théorème de Wigner
Soient (M ij ) i1,j1 des v.a.r. indépendantes. On considère le tableau aléatoire symétrique infini obtenu en posant M ij := M ji pour tous i, j 1 :
⎛
⎜
⎝
M 1,1 M 1,2 · · ·
M 2,1 M 2,2 · · ·
. . .
. . .
. . .
⎞
⎟
⎠ .
On se donne un entier n 1 et on note M := (M ij ) 1i,jn la matrice réelle
symétrique aléatoire obtenue en extrayant le carré n × n situé dans le coin
supérieur gauche du tableau. Soient
λ n,1 , . . . , λ n,n
les valeurs propres de la matrice réelle symétrique
1
√
n
M , ordonnées de sorte
que λ n,1 · · · λ n,n . On s’intéresse à leur mesure de comptage, appelée
mesure spectrale empirique, définie par
μ n :=
1
n
n
k=1
δ λ n,k .
Il s’agit d’une mesure de probabilité aléatoire, de même nature que la mesure
empirique dans le théorème de Glivenko-Cantelli
1 , mis à part que les atomes
1. Si (Zn) n1 sont i.i.d. de loi η alors presque sûrement, la mesure empirique
1
n
n
k=1
δZ k converge étroitement vers η quand n → ∞, et la convergence des fonctions de répartition est uniforme. Il s’agit d’une conséquence de la loi forte des grands
nombres, et du fait que la topologie de la convergence étroite sur R est séparable.
21 Matrices aléatoires
On souhaite étudier le comportement de la matrice aléatoire
Σ n lorsque la
dimension des données d = d n dépend de n et tend vers ∞. Simplifions en
posant Σ = I d . Cela nous conduit au modèle suivant : on se donne une famille
(Y ij ) i,j1 de v.a.r. i.i.d. de moyenne 0 et de variance 1, et pour tout entier
n 1, on considère la matrice aléatoire d n × d n symétrique
1
n
Y Y
où Y = (Y ij ) 1idn,1jn . Si n → d n est constante et égale à d alors
1
n Y Y
converge presque sûrement vers la matrice Σ = I. Il est naturel de chercher à comprendre le comportement de la matrice aléatoire
1
n Y Y
lorsque d n
dépend de n, par exemple en étudiant son spectre. L’analyse de la matrice
symétrique Y Y
est rendue difficile par le fait que ses coefficients sont dépendants. Cela suggère d’analyser en première approche des matrices aléatoires
symétriques dont les coefficients sont indépendants dans le triangle supérieur,
ce qui conduit au théorème de Wigner, objet principal de ce chapitre. Nous
reviendrons aux matrices de covariance empiriques dans la section 21.5.
21.1 Théorème de Wigner
Soient (M ij ) i1,j1 des v.a.r. indépendantes. On considère le tableau aléatoire symétrique infini obtenu en posant M ij := M ji pour tous i, j 1 :
⎛
⎜
⎝
M 1,1 M 1,2 · · ·
M 2,1 M 2,2 · · ·
. . .
. . .
. . .
⎞
⎟
⎠ .
On se donne un entier n 1 et on note M := (M ij ) 1i,jn la matrice réelle
symétrique aléatoire obtenue en extrayant le carré n × n situé dans le coin
supérieur gauche du tableau. Soient
λ n,1 , . . . , λ n,n
les valeurs propres de la matrice réelle symétrique
1
√
n
M , ordonnées de sorte
que λ n,1 · · · λ n,n . On s’intéresse à leur mesure de comptage, appelée
mesure spectrale empirique, définie par
μ n :=
1
n
n
k=1
δ λ n,k .
Il s’agit d’une mesure de probabilité aléatoire, de même nature que la mesure
empirique dans le théorème de Glivenko-Cantelli
1 , mis à part que les atomes
1. Si (Zn) n1 sont i.i.d. de loi η alors presque sûrement, la mesure empirique
1
n
n
k=1
δZ k converge étroitement vers η quand n → ∞, et la convergence des fonctions de répartition est uniforme. Il s’agit d’une conséquence de la loi forte des grands
nombres, et du fait que la topologie de la convergence étroite sur R est séparable.