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Matrices aléatoires
Mots-clés. Matrice aléatoire ; matrice de covariance ; spectre ; nombres de
Catalan ; théorème de Wigner ; loi du demi-cercle ; théorème de MarchenkoPastur ; loi du quart-de-cercle.
Outils. Méthode des moments ; fonction caractéristique ; théorème de Prohorov ; formule de Courant-Fischer ; inégalité de Hoffman-Wielandt ; inégalité d’Azuma-Hoeffding ; distance de Wasserstein ; distance de KolmogorovSmirnov ; combinatoire.
Difficulté. ***
Ce chapitre est consacré à un phénomène d’universalité concernant le comportement asymptotique du spectre de matrices aléatoires de grande dimension. Nous commençons par une motivation statistique, dont le dénouement
n’est abordé que dans la section 21.5. Soient X 1 , . . . , X n des vecteurs colonnes
aléatoires i.i.d. de R
d centrés et de matrice de covariance Σ. La matrice Σ
est symétrique d × d et ses valeurs propres sont positives ou nulles. On a
Σ ij = E(X ki X kj ) pour tous 1 i, j d et tout 1 k n ou encore
Σ = E(X 1 X
1 ) = · · · = E(X n X
n ).
La matrice de covariance empirique
Σ n est la matrice symétrique d×d suivante
Σ n =
1
n
n
k=1
X k X
k =
1
n
(X 1 · · · X n )(X 1 · · · X n )
.
On a
E(
Σ n ) = Σ.
Par la loi des grands nombres appliquée aux d × d coefficients,
Σ n
p.s.
−→
n→∞
Σ.
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_21