262
19 Polymères dirigés en environnement aléatoire
q n (β) + log(2d)
β
= −
1
β 2 (q n (β) + log(2d)) +
1
nβ
μ n (H n ).
Par ailleurs, l’entropie de μ n définie par
h n (μ n ) =
γ∈Γn
e
βH(γ)
Z n (2d) n log
e
βH(γ)
Z n (2d) n
= β μ n (H n ) − (log(Z n ) + n log(2d))
est négative. Ainsi,
q n (β) + log(2d)
β
=
1
nβ 2 h n (μ n ) 0.
La fonction β → β
−1 (q n (β) + log(2d)) est décroissante sur R
∗
+ .
Le lemme 19.14 fournit une majoration de u et de β c .
Théorème 19.15 (Majorations). Si la condition suivante est vérifiée :
lim
β→+∞
βλ
(β) − λ(β) > log(2d),
alors l’équation en β suivante
βλ
(β) = λ(β) + log(2d)
admet une unique racine β 1 et, pour tout β > β 1 ,
u(β)
β
β 1
(λ(β 1 ) + log(2d)) − log(2d),
Enfin, on a β c β 1 .
Démonstration. Puisque λ est strictement convexe, β → βλ
(β) − λ(β) est
strictement croissante sur R + (sa dérivée vaut β → βλ
(β)). Elle est de plus
nulle en 0. L’équation βλ
(β) = λ(β) + log(2d) a donc au plus une solution.
Elle existe si et seulement si la condition du théorème est satisfaite.
Le lemme 19.14 assure que la fonction β → (u n (β) + log(2d))/β est décroissante. Comme de plus u n λ, on obtient
u n (β) + log(2d)
β
= inf
α∈]0,β]
u n (α) + log(2d)
α
inf
α∈]0,β]
λ(α) + log(2d)
α
.
La fonction α → (λ(α) + log(2d))/α atteint son minimum sur [0, β] en β ou
au point où sa dérivée s’annule à savoir en β 1 . Donc, pour tout β > β 1 ,