19.6 Pour aller plus loin
263
u(β)
(λ(β 1 ) + log(2d))
β 1
β − log(2d).
Il reste à remarquer que pour β > β 1 ,
(λ(β 1 ) + log(2d))
β 1
β − log(2d) < λ(β)
puisque λ est strictement convexe et qu’il y a égalité en β 1 .
Exemple 19.16 (Environnement gaussien et environnement Bernoulli). Si
η ∼ N (0, 1) alors βλ
(β) − λ(β) = β
2 /2, et dans ce cas β 1 =
2 log(2d). En
revanche, si η ∼ Ber(p) alors
βλ
(β) − λ(β) =
pβe
β
pe β + 1 − p
− log
pe
β + 1 − p
∼
β→∞
− log(p),
et β 1 est fini si et seulement si 2dp < 1.
19.6 Pour aller plus loin
Ce modèle de polymère dirigé en environnement aléatoire a été introduit
par John Imbrie et Thomas Spencer [IS88]. La notion de fort désordre a été
étudiée en détail par Erwin Bolthausen dans [Bol89], qui démontre en particulier les théorèmes 19.1 et 19.8. Plus tard la notion de très fort désordre
a été étudiée notamment par Francis Comets et Nobuo Yoshida [CY06], qui
démontrent le théorème 19.2. En utilisant une inégalité de concentration pour
q n autour de sa moyenne, il est possible (voir [CH02, LW09]) d’améliorer les
conclusions du théorème 19.2, en démontrant que pour tout β 0,
q n (β)
p.s.
−→
n→∞
u(β) et q n (β)
L
1
−→
n→∞
u(β).
En dimension 1 et 2, on sait démontrer que β c = 0. Philippe Carmona et
Yueyun Hu ont établi dans [CH02] que ¯
β c = 0 pour d = 1 et d = 2 lorsque
l’environnement est gaussien. Le cas général est traité par Francis Comets,
Tokuzo Shiga et Nobuo Yoshida dans [CSY03]. Par la suite, Francis Comets
et Vincent Vargas ont établi dans [CV06] que β c est nul pour d = 1. Enfin,
Hubert Lacoin a démontré dans [Lac10] que c’est encore vrai pour d = 2. La
question de l’égalité des deux paramètres critiques si d 3 semble ouverte.
L’inégalité FKG, due à Cees Fortuin, Pieter Kasteleyn, et Jean Ginibre
[FKG71], constitue un outil mathématique important en physique statistique.
On peut par exemple consulter à ce sujet le livre de Thomas Liggett [Lig85]
sur les systèmes de particules en interaction.
Pour conclure, signalons que par soucis de clarté nous avons modifié légèrement les notations classiques utilisées dans les articles cités plus haut. En
effet, la mesure de référence est en général écrite comme le produit de deux
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u(β)
(λ(β 1 ) + log(2d))
β 1
β − log(2d).
Il reste à remarquer que pour β > β 1 ,
(λ(β 1 ) + log(2d))
β 1
β − log(2d) < λ(β)
puisque λ est strictement convexe et qu’il y a égalité en β 1 .
Exemple 19.16 (Environnement gaussien et environnement Bernoulli). Si
η ∼ N (0, 1) alors βλ
(β) − λ(β) = β
2 /2, et dans ce cas β 1 =
2 log(2d). En
revanche, si η ∼ Ber(p) alors
βλ
(β) − λ(β) =
pβe
β
pe β + 1 − p
− log
pe
β + 1 − p
∼
β→∞
− log(p),
et β 1 est fini si et seulement si 2dp < 1.
19.6 Pour aller plus loin
Ce modèle de polymère dirigé en environnement aléatoire a été introduit
par John Imbrie et Thomas Spencer [IS88]. La notion de fort désordre a été
étudiée en détail par Erwin Bolthausen dans [Bol89], qui démontre en particulier les théorèmes 19.1 et 19.8. Plus tard la notion de très fort désordre
a été étudiée notamment par Francis Comets et Nobuo Yoshida [CY06], qui
démontrent le théorème 19.2. En utilisant une inégalité de concentration pour
q n autour de sa moyenne, il est possible (voir [CH02, LW09]) d’améliorer les
conclusions du théorème 19.2, en démontrant que pour tout β 0,
q n (β)
p.s.
−→
n→∞
u(β) et q n (β)
L
1
−→
n→∞
u(β).
En dimension 1 et 2, on sait démontrer que β c = 0. Philippe Carmona et
Yueyun Hu ont établi dans [CH02] que ¯
β c = 0 pour d = 1 et d = 2 lorsque
l’environnement est gaussien. Le cas général est traité par Francis Comets,
Tokuzo Shiga et Nobuo Yoshida dans [CSY03]. Par la suite, Francis Comets
et Vincent Vargas ont établi dans [CV06] que β c est nul pour d = 1. Enfin,
Hubert Lacoin a démontré dans [Lac10] que c’est encore vrai pour d = 2. La
question de l’égalité des deux paramètres critiques si d 3 semble ouverte.
L’inégalité FKG, due à Cees Fortuin, Pieter Kasteleyn, et Jean Ginibre
[FKG71], constitue un outil mathématique important en physique statistique.
On peut par exemple consulter à ce sujet le livre de Thomas Liggett [Lig85]
sur les systèmes de particules en interaction.
Pour conclure, signalons que par soucis de clarté nous avons modifié légèrement les notations classiques utilisées dans les articles cités plus haut. En
effet, la mesure de référence est en général écrite comme le produit de deux