19.5 Borne supérieure sur le paramètre critique
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Remarquons que H n (γ) (respectivement Z
−1
n (β)) est une fonction croissante
(respectivement décroissante) des variables (η(i, x)) (i,x)∈En . D’autre part, la
mesure de densité e
βHn(γ)−nλ(β) par rapport à la mesure P est une mesure de
probabilité. L’inégalité FKG du lemme 19.4 assure donc
E
H n (γ)
Z n (β)
e
βHn(γ)−nλ(β)
E
H n (γ)e
βHn(γ)−nλ(β)
E
Z n (β)
−1 e
βHn(γ)−nλ(β)
.
On obtient ainsi
∂
∂β
E(log(Z n (β)))
1
(2d) n
γ∈Γn
e
−nλ(β)
E
e
βHn(γ)
Z n (β)
E
H n (γ)e
βHn(γ)
nλ
(β)E
⎛
⎝ 1
(2d) n
γ∈Γn
e
βHn(γ)
Z n (β)
⎞
⎠
nλ
(β).
En d’autres termes, (u n − λ)
(β) 0 : pour tout n 1 la fonction u n − λ
est décroissante. C’est encore vrai en passant à la limite quand n → ∞ : la
fonction u − λ est décroissante sur R + .
Les fonctions u et λ sont nulles en 0. Il existe donc β c ∈ [0, +∞] tel que
u(β) = λ(β) si β < β c ,
u(β) < λ(β) si β > β c .
19.5 Borne supérieure sur le paramètre critique
Le but de cette section est d’établir une borne supérieure sur β c .
Lemme 19.14. Les fonctions (q n ) n1 et u vérifient les propriétés suivantes :
1. q n est strictement convexe, q n (0) = 0 ; u est convexe et nulle en 0.
2. β → β
−1 q n (β) est croissante.
3. β → β
−1 (q n (β) + log(2d)) est décroissante.
Démonstration. La fonction β → nq n (β) est le logarithme de la transformée
de Laplace de la v.a.r. H n (S 0:n ) (les variables η(·, ·) étant fixées). La fonction
q n est donc de classe C
2 , convexe et nulle en 0. Ces propriétés sont stables par
passage à l’espérance puis à la limite quand n tend vers l’infini : u est convexe
sur R + et nulle en 0. Puisque q n est convexe, la fonction (pente de la corde
entre (0, 0) et (β, q n (β))) β → q n (β)/β = (q n (β) − q n (0))/β est croissante.
Pour le point 3. on dérive pour obtenir