19.4 Énergie libre moyenne
259
E
e
tN∞
=
∞
k=1
(1 − π d )π
k−1
d
e
tk =
⎧
⎨
⎩
(1 − π d )e
t
1 − π d e t
si t < − log(π d ),
+∞
sinon.
On obtient ainsi une condition nécessaire et suffisante pour que la suite
(W n (β)) n1 soit bornée dans L
2 :
sup
n1
E
W n (β)
2
< ∞ ⇐⇒ τ (β) < log(1/π d ).
Si τ (β) < log(1/π d ), alors (W n (β)) n1 est une martingale bornée dans L
2 ,
elle converge donc p.s. et dans L
2 vers une variable aléatoire de carré intégrable W ∞ (β). En particulier on a E(W ∞ (β)) = lim n E(W n (β)) = 1 et donc
W ∞ (β) > 0 p.s. grâce à la loi du zéro-un du lemme 19.6.
Corollaire 19.9 (Critère de non nullité). Si d 3 alors pour tout environnement, ¯
β c > 0.
Démonstration. La fonction τ est nulle en 0 et régulière sur R. Elle est de
plus strictement croissante car
τ
(β) = 2(λ
(2β) − λ
(β)) > 0,
par stricte convexité de λ. La condition du théorème 19.8 est donc toujours
vérifiée pour β assez petit et ce, quel que soit l’environnement.
Exemple 19.10 (Environnement gaussien). Si η ∼ N (0, 1), alors τ (β) = β
2
et τ (β) < log(1/π d ) ssi β <
log(1/π d ). On a donc ¯
β c >
log(1/π d ).
Exemple 19.11 (Environnement Bernoulli). Si η ∼ Ber(p), alors
λ(β) = log
pe
β + 1 − p
et
lim
β→∞
τ (β) = − log(p).
Ainsi, dès que p > π d , la condition du théorème 19.8 est satisfaite pour tout
β 0, et ¯
β c est infini.
19.4 Énergie libre moyenne
L’objet principal de cette section est de démontrer le théorème 19.2. On
démontre tout d’abord que l’énergie libre moyenne converge.
Lemme 19.12 (Convergence de l’énergie libre moyenne). Pour tout β 0,
il existe une constante u(β) inférieure à λ(β) telle que
u n (β) −→
n→∞
u(β).
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E
e
tN∞
=
∞
k=1
(1 − π d )π
k−1
d
e
tk =
⎧
⎨
⎩
(1 − π d )e
t
1 − π d e t
si t < − log(π d ),
+∞
sinon.
On obtient ainsi une condition nécessaire et suffisante pour que la suite
(W n (β)) n1 soit bornée dans L
2 :
sup
n1
E
W n (β)
2
< ∞ ⇐⇒ τ (β) < log(1/π d ).
Si τ (β) < log(1/π d ), alors (W n (β)) n1 est une martingale bornée dans L
2 ,
elle converge donc p.s. et dans L
2 vers une variable aléatoire de carré intégrable W ∞ (β). En particulier on a E(W ∞ (β)) = lim n E(W n (β)) = 1 et donc
W ∞ (β) > 0 p.s. grâce à la loi du zéro-un du lemme 19.6.
Corollaire 19.9 (Critère de non nullité). Si d 3 alors pour tout environnement, ¯
β c > 0.
Démonstration. La fonction τ est nulle en 0 et régulière sur R. Elle est de
plus strictement croissante car
τ
(β) = 2(λ
(2β) − λ
(β)) > 0,
par stricte convexité de λ. La condition du théorème 19.8 est donc toujours
vérifiée pour β assez petit et ce, quel que soit l’environnement.
Exemple 19.10 (Environnement gaussien). Si η ∼ N (0, 1), alors τ (β) = β
2
et τ (β) < log(1/π d ) ssi β <
log(1/π d ). On a donc ¯
β c >
log(1/π d ).
Exemple 19.11 (Environnement Bernoulli). Si η ∼ Ber(p), alors
λ(β) = log
pe
β + 1 − p
et
lim
β→∞
τ (β) = − log(p).
Ainsi, dès que p > π d , la condition du théorème 19.8 est satisfaite pour tout
β 0, et ¯
β c est infini.
19.4 Énergie libre moyenne
L’objet principal de cette section est de démontrer le théorème 19.2. On
démontre tout d’abord que l’énergie libre moyenne converge.
Lemme 19.12 (Convergence de l’énergie libre moyenne). Pour tout β 0,
il existe une constante u(β) inférieure à λ(β) telle que
u n (β) −→
n→∞
u(β).