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19 Polymères dirigés en environnement aléatoire
Théorème 19.8 (Critère de non nullité). Si d 3 et si
τ (β) = λ(2β) − 2λ(β) < log(1/π d )
alors W ∞ > 0 presque sûrement.
Démonstration. Pour tout β 0, on a τ
(β) = 2(λ
(2β) − λ
(β)) > 0 puisque
λ est strictement convexe car logarithme d’une transformée de Laplace. Il en
découle que τ est donc strictement croissante. Soit à présent une suite (U
n ) n1
de même loi que (U n ) n1 , de sorte que
(U n ) n1 , (U
n ) n1 , (η(n, x)) n0, x∈Z d
soient indépendantes. Soit (S
n ) n1 la suite construite à partir de (U
n ) n1 à la
manière de (S n ) n1 à partir de (U n ) n1 . Par indépendance de (S n ) et (S
n ),
W n (β)
2 = E
n
k=1
e
βη(k,S k )−λ(β)
| G
E
n
k=1
e
βη(k,S
k )−λ(β)
| G
= E
n
k=1
e
β(η(k,S k )+η(k,S
k ))−2λ(β)
| G
.
Prenons l’espérance :
E
W
2
n
= E
E
n
k=1
e
β(η(k,S k )+η(k,S
k ))−2λ(β)
| F
∨ F
.
Or, pour tout x, x
∈ Z
d ,
E
e
β(η(k,x)+η(k,x
))−2λ(β)
𨐾
=
𨐿
e
τ (β)
si x = x
,
1
six = x
.
On a donc
E
W n (β)
2
= E
e
τ (β)In
où I n =
n
k=0
1 {Sk=S
k } .
On remarque alors que les suites (S k − S
k ) k0 et (S 2k ) k0 ont même loi
puisque −U
n et U n sont indépendantes et ont même loi. La variable aléatoire I n a donc même loi que le nombre N 2n de retours en 0 de S avant
l’instant 2n. Par convergence monotone,
E
e
τ (β)In
= E
e
τ (β)N2n
−→
n→∞
E
e
τ (β)N∞
.
La propriété de Markov forte de S assure que la loi de N ∞ est la loi géométrique de paramètre 1 − π d et que, pour tout t ∈ R,